Calcule os seguintes limites:
lim x infty 5 x^4-3 x^2+15 x^2+2 x-1

Passo 1

Então, a gente tem esse limite aí:
lim x infty 5 x^4-3 x^2+15 x^2+2 x-1
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como os termos de maior grau em dominam o comportamento da função quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador , o termo de maior grau é . No denominador , o termo de maior grau é .

Passo 3

A próxima coisa a fazer é dividir todos os termos do numerador e do denominador pelo termo de maior grau do denominador, que nesse caso é 5x^4x^2 - 3x^2x^2 + 1x^2 = 5x^2 - 3 + 1x^2 . Isso vai simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.
Vamos fazer isso:
Numerador dividido por 5x^2x^2 + 2xx^2 - 1x^2 = 5 + 2x - 1x^2 :
Denominador dividido por :

Passo 4

Agora, a gente reescreve o limite com essas novas expressões:
lim x infty 5x^2 - 3 + 1x^25 + 2x - 1x^2
Quando vai para o infinito, os termos com ou vão se aproximar de zero, porque quanto maior fica, menor esses termos ficam.

Passo 5

Simplificando sabendo que 5x^2 - 3 + 05 + 0 - 0 = 5x^2 - 35 e tendem a zero, a expressão fica:

Passo 6

Agora, ficamos com:
lim x infty 5x^2 - 35 = 5x^25 - 35 = x^2 - 35

Passo 7

Quando lim x infty (x^2 - 35) = infty vai para o infinito, também vai para o infinito. Então, o termo é insignificante comparado com . Portanto, o limite é:

Resposta

O limite é infinito.

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