Calcule os seguintes limites:
\lim _{z \rightarrow-2} \frac{z^{4}+3 z^{3}-4 z}{z^{2}+4 z+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{z\to -2} \frac{z^4+3z^3-4z}{z^2+4z+4}.
Trata-se de um limite de função racional que, ao substituir z=-2, dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação de cancelamento.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada pelo cálculo direto:
(-2)^4 + 3(-2)^3 - 4(-2) = 16 - 24 + 8 = 0,
(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0.
Logo o limite é da forma \tfrac{0}{0} e precisamos fatorar numerador e denominador.

Passo 3

Fatoramos o denominador como trinômio quadrado perfeito:
z^2 + 4z + 4 = (z+2)^2.
No numerador, extraímos z e depois usamos divisão por raiz para fatorar completamente:
z^4+3z^3-4z = z\,(z^3+3z^2-4).
Como z=-2 zera o polinômio interno, (z+2) é fator. Dividindo z^3+3z^2-4 por (z+2) obtemos z^2+z-2, que se fatora em (z+2)(z-1). Assim
z^4+3z^3-4z = z\,(z+2)\,(z+2)\,(z-1) = z\,(z+2)^2\,(z-1).

Passo 4

Cancelamos (z+2)^2 em numerador e denominador, ficando
\frac{z^4+3z^3-4z}{z^2+4z+4} = \frac{z\,(z+2)^2\,(z-1)}{(z+2)^2} = z\,(z-1).
Agora basta substituir z=-2:
(-2)\,(-2-1)=(-2)\,(-3)=6.

Resposta

6

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