Calcule os seguintes limites:
\quad \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\left(x^{2}-4\right)}{\left(x^{2}-3 x+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}-3x+2}.
Trata-se de um limite de função racional que, em x=2, dá indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificação.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2),
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).

Passo 3

Substituindo na fração, obtemos
\frac{x^{2}-4}{x^{2}-3x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}.
Para x\neq2, podemos cancelar o fator comum (x-2), ficando
\frac{x+2}{x-1}.

Passo 4

Agora o limite não é mais indeterminado. Basta substituir x=2 na expressão simplificada:
\lim_{x\to2}\frac{x+2}{x-1} = \frac{2+2}{2-1} = \frac{4}{1} = 4.

Resposta

4

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