Calcule os limites.
5. \lim _{t \rightarrow \infty}\left\langle\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}, \operatorname{tg}^{-1} t \frac{1-e^{-2 t}}{t}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da função vetorial
\lim_{t\to\infty}\Bigl\langle \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\;\operatorname{tg}^{-1}t\;\frac{1-e^{-2t}}{t}\Bigr\rangle.
O conteúdo aqui é limites de funções vetoriais: basta calcular o limite de cada componente separadamente.

Passo 2

Para a primeira componente,
\lim_{t\to\infty}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},
dividimos numerador e denominador por t^{2}:
\frac{\frac{1}{t^{2}}+1}{\frac{1}{t^{2}}-1}.
Como \tfrac1{t^{2}}\to0 quando t\to\infty, o quociente tende a
\frac{0+1}{0-1}=-1.

Passo 3

Para a segunda componente,
\lim_{t\to\infty}\operatorname{tg}^{-1}t\;\frac{1-e^{-2t}}{t},
observamos dois limites:
  1. \displaystyle\lim_{t\to\infty}\operatorname{tg}^{-1}t=\frac{\pi}{2}.
  2. \displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{1-e^{-2t}}{t}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}=0, pois e^{-2t}\to0.
    O produto de um número finito \bigl(\tfrac\pi2\bigr) por zero é zero.

Resposta

\lim_{t\to\infty}\Bigl\langle \frac{1+t^{2}}{1-t^{2}},\;\operatorname{tg}^{-1}t\;\frac{1-e^{-2t}}{t}\Bigr\rangle =\bigl\langle -1,\;0\bigr\rangle.

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