Calcule os seguintes limites:
c) \lim _{t \rightarrow-2} \frac{t^{3}+4 t^{2}+4 t}{(t+2)(t-3)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{t\to -2}\frac{t^3+4t^2+4t}{(t+2)(t-3)}.
Ao substituir t=-2 diretamente, obtemos \tfrac{0}{0}, uma forma indeterminada. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação algébrica.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
t^3+4t^2+4t = t\bigl(t^2+4t+4\bigr) = t(t+2)^2.

Passo 3

Substituindo na expressão original:
\frac{t^3+4t^2+4t}{(t+2)(t-3)} = \frac{t(t+2)^2}{(t+2)(t-3)} = \frac{t(t+2)}{t-3}, \quad t\neq -2.

Passo 4

Na forma simplificada a função é contínua em t=-2, então substituímos diretamente:
\lim_{t\to -2}\frac{t(t+2)}{t-3} = \frac{(-2)\cdot0}{-5} = 0.

Resposta

0

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