Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\left(x^{2}-2 x\right) \operatorname{sen}\left(x^{2}-4\right)}{\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{4 x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\frac{(x^{2}-2x)\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{4x}}.
Como ao substituir x=2 tanto o numerador quanto o denominador dão 0, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração no numerador e o truque do conjugado no denominador.

Passo 2

Começamos simplificando o denominador por meio do conjugado. Note que \sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{4x} multiplicado por \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{4x} leva a
(x^{2}+4)-4x \;=\;x^{2}-4x+4 \;=\;(x-2)^{2}.
Assim,
\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{4x} =\frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{4x}}.

Passo 3

Substituindo essa expressão no limite, temos
\frac{(x^{2}-2x)\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{4x}} =\frac{x(x-2)\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{\displaystyle\frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{4x}}} =x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)\,\frac{\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{4x}}{\,x-2\,}.
Reescrevendo,
\lim_{x\to 2} x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)\, \frac{\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{4x}}{x-2}.

Passo 4

Para x\to2 temos \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{4x}\to 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2} e x\to2. Falta o termo
\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{x-2}.
Como x^{2}-4=(x-2)(x+2), chamando u=x^{2}-4, quando x\to2 temos u\to0 e
\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-4\bigr)}{x-2} =\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\;\cdot\;\frac{u}{x-2} \;\xrightarrow[x\to2]{}\; 1\;\cdot\;(x+2)\;\xrightarrow[x\to2]{}\;4.
Logo o limite vale
2\;\times\;4\;\times\;4\sqrt{2} =32\sqrt{2}.

Resposta

32\sqrt{2}

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