Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{7 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{e^{7x}-1}{x}.
Estamos no tópico de limites de funções exponenciais e, como a substituição direta em geral gera a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, vamos usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
\frac{e^{7\cdot 0}-1}{0} = \frac{e^{0}-1}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{7x}-1\bigr)=7e^{7x}, \qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{e^{7x}-1}{x} =\lim_{x\to0}\frac{7e^{7x}}{1} =\lim_{x\to0}7e^{7x}.

Passo 4

Como e^{7x} é contínua, basta substituir x=0:
\lim_{x\to0}7e^{7x} = 7e^{0} = 7.

Resposta

7

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