Exercício 12. Considere a função
. Verifique que
toma os valores -2 e 2 em
e
respectivamente, mas
não toma o valor 0 em nenhum
entre -1 e 1 . Por que isso não contradiz o teorema do valor intermediário?
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar que
e
, mas que não existe
com
. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário, que exige continuidade de
num intervalo fechado para garantir que ela tome todos os valores entre
e
.
Passo 2
Calculemos diretamente em
e
:
Passo 3
Para ver que
não atinge
em nenhuma
, tentamos resolver
Isso implicaria
, que é impossível. Além disso, para
temos
e para
temos
, então
nunca muda de sinal nem passa por zero nesse intervalo.
Passo 4
O Teorema do Valor Intermediário só vale se
for contínua em todo o intervalo fechado
. Porém
não está definida (nem contínua) em
. Logo o domínio de
em torno de
não é um único intervalo, mas dois ramos
e
. Como falta continuidade em
, não podemos aplicar o teorema ali, e não há contradição.
Resposta
Não há contradição porque
não é contínua em
(está indefinida em
), então o Teorema do Valor Intermediário não se aplica.