Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}.
Informações dadas: temos expressões com radicais de índice 2 (raiz quadrada) e índice 3 (raiz cúbica) envolvendo 1\pm x. A expressão é uma forma do tipo \tfrac{0}{0} quando x\to0 (isso vamos verificar no próximo passo).

Passo 2

Verifico a forma indeterminada ao substituir x=0:
\sqrt{1+0}-\sqrt{1-0}=1-1=0,
\sqrt[3]{1+0}-\sqrt[3]{1-0}=1-1=0.
Portanto o limite é uma forma \tfrac{0}{0}. Isso permite usar a regra de L’Hôpital (ou encontrar uma aproximação linear) — vou usar a regra de L’Hôpital porque é direto e ensina como proceder na prova.

Passo 3

Enunciado da regra de L’Hôpital (versão útil aqui): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e se f e g são diferenciáveis em torno de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq0 próximo de a, então, se existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Vou aplicar isso com
f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}
e
g(x)=\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}.

Passo 4

Calculo f'(x). Uso a regra da cadeia: se h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2} então h'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{u}}. Aplicando a cadeia em u=1\pm x (derivada de 1\pm x é \pm1):
\frac{d}{dx}\sqrt{1+x}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}},
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x}=\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}.
Logo
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\left(\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}\right)=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}\Big).

Passo 5

Calculo g'(x). Para k(u)=u^{1/3} temos k'(u)=\tfrac{1}{3}u^{-2/3}=\tfrac{1}{3u^{2/3}}. Aplicando a cadeia:
\frac{d}{dx}\sqrt[3]{1+x}=\frac{1}{3(1+x)^{2/3}},
\frac{d}{dx}\sqrt[3]{1-x}=\frac{-1}{3(1-x)^{2/3}}.
Logo
g'(x)=\frac{1}{3(1+x)^{2/3}}-\left(\frac{-1}{3(1-x)^{2/3}}\right)=\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{(1+x)^{2/3}}+\frac{1}{(1-x)^{2/3}}\Big).

Passo 6

Agora aplico L’Hôpital e avalio no ponto x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Avalio f'(0) e g'(0):
f'(0)=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{1+0}}+\frac{1}{\sqrt{1-0}}\Big)=\frac{1}{2}(1+1)=1,
g'(0)=\frac{1}{3}\Big(\frac{1}{(1+0)^{2/3}}+\frac{1}{(1-0)^{2/3}}\Big)=\frac{1}{3}(1+1)=\frac{2}{3}.
Portanto o limite é
\frac{f'(0)}{g'(0)}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}.

Passo 7

Comentário didático rápido (opcional, para fixar): uma maneira alternativa é usar aproximação linear (expansão de primeira ordem) (1+u)^a\approx 1+au para u pequeno. Aplicando com a=\tfrac12 e a=\tfrac13 obtemos numerador \approx x e denominador \approx \tfrac{2}{3}x, dando a mesma razão \tfrac{3}{2}. Essas duas abordagens são equivalentes na prática para limites do tipo \tfrac{0}{0}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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