Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: temos expressões com radicais de índice
(raiz quadrada) e índice
(raiz cúbica) envolvendo
. A expressão é uma forma do tipo
quando
(isso vamos verificar no próximo passo).
Passo 2
Verifico a forma indeterminada ao substituir
:
Portanto o limite é uma forma
. Isso permite usar a regra de L’Hôpital (ou encontrar uma aproximação linear) — vou usar a regra de L’Hôpital porque é direto e ensina como proceder na prova.
Passo 3
Enunciado da regra de L’Hôpital (versão útil aqui): se
e
, e se
e
são diferenciáveis em torno de
(exceto possivelmente em
) e
próximo de
, então, se existir,
Vou aplicar isso com
e
Passo 4
Calculo
. Uso a regra da cadeia: se
então
. Aplicando a cadeia em
(derivada de
é
):
Logo
Passo 5
Calculo
. Para
temos
. Aplicando a cadeia:
Logo
Passo 6
Agora aplico L’Hôpital e avalio no ponto
:
Avalio
e
:
Portanto o limite é
Passo 7
Comentário didático rápido (opcional, para fixar): uma maneira alternativa é usar aproximação linear (expansão de primeira ordem)
para
pequeno. Aplicando com
e
obtemos numerador
e denominador
, dando a mesma razão
. Essas duas abordagens são equivalentes na prática para limites do tipo
.