Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-8} \frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -8} \frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão entre uma diferença envolvendo raiz quadrada no numerador e uma soma envolvendo raiz cúbica no denominador.
  • Queremos o valor do limite quando x se aproxima de -8.

Passo 2

Teste de substituição direta (para ver se dá um valor imediato):
\text{numerador: }\sqrt{1-(-8)}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0,
\text{denominador: }2+\sqrt[3]{-8}=2+(-2)=0.
Temos a forma indeterminada 0/0. Isso indica que precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Escolha do método: como o denominador tem \sqrt[3]{x} (raiz cúbica) e o numerador tem \sqrt{1-x} (raiz quadrada), uma boa ideia é fazer a substituição
y=\sqrt[3]{x},
ou seja x=y^3. Essa mudança transforma a raiz cúbica em uma variável linear y, e o limite x\to -8 vira y\to -2. Substituir geralmente simplifica a fatoração quando aparecem potências cúbicas.

Passo 4

Reescrevendo o limite em termos de y:
\lim_{y\to -2} \frac{\sqrt{\,1-y^3\,}-3}{2+y}.
Agora a indeterminação persiste na forma 0/0 quando y\to -2. Vamos eliminar essa indeterminação racionalizando o numerador usando o conjugado.

Passo 5

Racionalização do numerador: multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{1-y^3}+3 (o conjugado) para tirar a raiz do numerador:
\frac{\sqrt{1-y^3}-3}{2+y}\cdot\frac{\sqrt{1-y^3}+3}{\sqrt{1-y^3}+3} = \frac{(\sqrt{1-y^3})^2-3^2}{(2+y)\big(\sqrt{1-y^3}+3\big)}.
Explicando a ideia: (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aqui a=\sqrt{1-y^3} e b=3.

Passo 6

Calcule a diferença de quadrados no numerador:
(\sqrt{1-y^3})^2-3^2=(1-y^3)-9= -y^3-8=-(y^3+8).
Note que y^3+8 é soma de cubos; ela fatoriza como
y^3+8=(y+2)(y^2-2y+4).
Portanto o numerador fica
-(y+2)(y^2-2y+4).

Passo 7

Substituindo no quociente já racionalizado obtemos
\frac{-(y+2)(y^2-2y+4)}{(y+2)\big(\sqrt{1-y^3}+3\big)}.
Como estamos calculando um limite e consideramos y próximo de -2 (mas y\neq -2), podemos cancelar o fator comum y+2, resultando em
\lim_{y\to -2} \frac{-(y^2-2y+4)}{\sqrt{1-y^3}+3}.
Explicação didática: cancelar um fator que é zero exatamente no ponto é permitido quando se trata de limite, pois a simplificação vale para todos y próximos ao ponto, exceto possivelmente no ponto.

Passo 8

Agora podemos avaliar o limite por substituição direta, pois a expressão simplificada não é mais indeterminada. Primeiro calcule y^2-2y+4 em y=-2:
(-2)^2-2(-2)+4=4+4+4=12.
Em seguida calcule \sqrt{1-y^3}+3 em y=-2:
\sqrt{1-(-2)^3}+3=\sqrt{1-(-8)}+3=\sqrt{9}+3=3+3=6.

Passo 9

Substituindo os valores na expressão simplificada:
\frac{-(y^2-2y+4)}{\sqrt{1-y^3}+3}\Bigg|_{y=-2}=\frac{-12}{6}=-2.
Portanto o limite vale -2.

Resposta

-2

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