Temos a forma indeterminada 0/0. Isso indica que precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Escolha do método: como o denominador tem \sqrt[3]{x} (raiz cúbica) e o numerador tem \sqrt{1-x} (raiz quadrada), uma boa ideia é fazer a substituição
y=\sqrt[3]{x},
ou seja x=y^3. Essa mudança transforma a raiz cúbica em uma variável linear y, e o limite x\to -8 vira y\to -2. Substituir geralmente simplifica a fatoração quando aparecem potências cúbicas.
Passo 4
Reescrevendo o limite em termos de y:
\lim_{y\to -2} \frac{\sqrt{\,1-y^3\,}-3}{2+y}.
Agora a indeterminação persiste na forma 0/0 quando y\to -2. Vamos eliminar essa indeterminação racionalizando o numerador usando o conjugado.
Passo 5
Racionalização do numerador: multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{1-y^3}+3 (o conjugado) para tirar a raiz do numerador:
Explicação didática: cancelar um fator que é zero exatamente no ponto é permitido quando se trata de limite, pois a simplificação vale para todos y próximos ao ponto, exceto possivelmente no ponto.
Passo 8
Agora podemos avaliar o limite por substituição direta, pois a expressão simplificada não é mais indeterminada. Primeiro calcule y^2-2y+4 em y=-2: