Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
e ao observar
temos
e
. Logo a expressão tem a forma indeterminada
quando
.
Passo 2
Fazemos a substituição para trabalhar com uma variável que tende a zero: seja
. Então
e quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
,
Como
tem período
(isto é,
para todo inteiro
), temos
Portanto o limite original transforma-se em
Passo 3
Manipulamos a expressão para isolar uma razão conhecida. Observamos que
pois multiplicando e dividindo por
obtemos exatamente essa forma. Logo
Passo 4
Agora usamos um limite básico e muito útil (é bom memorizar):
.
Prova curta e intuitiva desse fato: escrevemos
Prova curta e intuitiva desse fato: escrevemos
Quando
sabemos que
(limite trigonométrico fundamental) e
. Assim o produto tende a
. Portanto
.
No nosso caso usamos
. Como
implica
, temos
Passo 5
Substituindo esse resultado em
obtemos
Portanto o limite pedido é
.