Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{\operatorname{tg} \pi x}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -2} \frac{\operatorname{tg}\pi x}{x+2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\operatorname{tg}\pi x=\tan(\pi x),
e ao observar x=-2 temos \operatorname{tg}(\pi\cdot(-2))=\operatorname{tg}(-2\pi)=0 e x+2=0. Logo a expressão tem a forma indeterminada 0/0 quando x\to-2.

Passo 2

Fazemos a substituição para trabalhar com uma variável que tende a zero: seja h=x+2. Então x=-2+h e quando x\to-2 temos h\to0. Reescrevendo a expressão em função de h,
\frac{\operatorname{tg}\pi x}{x+2} = \frac{\operatorname{tg}\bigl(\pi(-2+h)\bigr)}{h}.
Como \tan tem período \pi (isto é, \tan(\theta+k\pi)=\tan\theta para todo inteiro k), temos
\operatorname{tg}\bigl(\pi(-2+h)\bigr)=\operatorname{tg}(-2\pi+\pi h)=\operatorname{tg}(\pi h).
Portanto o limite original transforma-se em
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{tg}(\pi h)}{h}.

Passo 3

Manipulamos a expressão para isolar uma razão conhecida. Observamos que
\frac{\operatorname{tg}(\pi h)}{h} = \pi\cdot\frac{\operatorname{tg}(\pi h)}{\pi h},
pois multiplicando e dividindo por \pi obtemos exatamente essa forma. Logo
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{tg}(\pi h)}{h} = \pi\cdot\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{tg}(\pi h)}{\pi h}.

Passo 4

Agora usamos um limite básico e muito útil (é bom memorizar): \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.
Prova curta e intuitiva desse fato: escrevemos
\frac{\tan u}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
Quando u\to0 sabemos que \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 (limite trigonométrico fundamental) e \displaystyle\lim_{u\to0}\cos u=1. Assim o produto tende a 1\cdot 1=1. Portanto \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.
No nosso caso usamos u=\pi h. Como h\to0 implica u=\pi h\to0, temos
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{tg}(\pi h)}{\pi h}=1.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \pi\cdot\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{tg}(\pi h)}{\pi h} obtemos
\pi\cdot 1=\pi.
Portanto o limite pedido é \pi.

Resposta

\pi

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