Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\sqrt[3]{1+2 x}+1}{x+\sqrt{2+x}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -1}\frac{\sqrt[3]{1+2x}+1}{x+\sqrt{2+x}}.
Esse é um caso de forma indeterminada 0/0, pois ao substituir x=-1 temos \sqrt[3]{1-2}+1=-1+1=0 e -1+\sqrt{1}=-1+1=0. Para resolver, vamos usar desenvolvimento em série (expansão de Taylor) de ambas as raízes em torno de x=-1.

Passo 2

Introduzimos a mudança de variável
t = x + 1,
de modo que x=-1+t e t\to 0 quando x\to -1. Reescrevemos numerador e denominador em função de t.

Passo 3

Numerador em t:
\sqrt[3]{1+2x}+1 = \sqrt[3]{1+2(-1+t)} + 1 = \sqrt[3]{-1 + 2t} + 1.
Escrevemos -1+2t = -\bigl(1-2t\bigr), então
\sqrt[3]{-1+2t} = -\sqrt[3]{1-2t}.
Usando a expansão \sqrt[3]{1+u} = 1 + \tfrac{u}{3} + o(u) para u\to 0, com u=-2t, obtemos
\sqrt[3]{1-2t} =1 - \frac{2t}{3} + o(t).
Portanto
\sqrt[3]{-1+2t} = -\Bigl(1 - \frac{2t}{3} + o(t)\Bigr) = -1 + \frac{2t}{3} + o(t).
Somando 1,
\sqrt[3]{-1+2t} + 1 = \Bigl(-1 + \frac{2t}{3} + o(t)\Bigr) + 1 = \frac{2t}{3} + o(t).

Passo 4

Denominador em t:
x + \sqrt{2+x} = (-1 + t) + \sqrt{2 -1 + t} = -1 + t + \sqrt{1+t}.
Para \sqrt{1+t} usamos a expansão \sqrt{1+t} = 1 + \tfrac{t}{2} + o(t). Assim
-1 + t + \bigl(1 + \frac{t}{2} + o(t)\bigr) = ( -1 + 1 ) + \Bigl(t + \frac{t}{2}\Bigr) + o(t) = \frac{3t}{2} + o(t).

Passo 5

Agora o quociente, para t\to0, fica
\frac{\sqrt[3]{1+2x}+1}{x+\sqrt{2+x}} = \frac{\frac{2t}{3} + o(t)}{\frac{3t}{2} + o(t)} \longrightarrow \frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

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