Usando a regra de L’Hospital, calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot e^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0} x\,e^{\frac{1}{x}}
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo é identificar a indeterminação tipo 0\cdot\infty (no caso de aproximação pela direita) e reescrever como quociente para aplicar L’Hospital.

Passo 2

Verificamos os limites laterais:
  • Se x\to0^+, então x\to0 e e^{1/x}\to e^{+\infty}=+\infty, caracterizando a forma indeterminada 0\cdot\infty.
  • Se x\to0^-, então x\to0 e e^{1/x}\to e^{-\infty}=0, não há indeterminação (é 0\cdot0).

Passo 3

Para a borda direita, reescrevemos
x\,e^{\frac{1}{x}} =\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}
de modo a obter a forma \frac{\infty}{\infty} quando x\to0^+.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’Hospital ao quociente
\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}
calculando derivadas em relação a x:
  • Numerador: \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{\frac{1}{x}}\bigr) =e^{\frac{1}{x}}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr).
  • Denominador: \dfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) =-\tfrac{1}{x^2}.
Pela regra de L’Hospital, o limite vira
\lim_{x\to0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr)} {-\tfrac{1}{x^2}} =\lim_{x\to0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty.

Passo 5

Para x\to0^-, não há indeterminação porque e^{1/x}\to0 e x\to0, logo
\lim_{x\to0^-}x\,e^{\frac{1}{x}}=0.

Passo 6

Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite bilateral \displaystyle\lim_{x\to0}x\,e^{\frac{1}{x}} não existe.
Entretanto,
\lim_{x\to0^+}x\,e^{\frac{1}{x}}=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}x\,e^{\frac{1}{x}}=0.

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