Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo envolvido é o limite que define o número de Euler e. Para resolver, vamos usar logaritmo natural e, em seguida, o critério de L\’Hôpital.

Passo 2

Definimos
y = \Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados, obtemos
\ln y = x \,\ln\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Analisamos o limite de \ln y:
\lim_{x\to+\infty}\ln y = \lim_{x\to+\infty} x\,\ln\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr).
Essa expressão é do tipo \infty\cdot0. Reescrevendo como quociente, temos
\lim_{x\to+\infty} x\,\ln\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr) = \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(1+\frac{1}{x}\bigr)}{\frac{1}{x}},
que é um caso \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Aplicamos o critério de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{1+\tfrac{1}{x}}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr),
derivada do denominador
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{x}\Bigr] = -\tfrac{1}{x^{2}}.
Logo, o limite vira
\lim_{x\to+\infty}\frac{-\tfrac{1}{x^{2}}\;\bigl/\,\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)} {-\tfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\tfrac{1}{x}} = 1.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\ln y = 1.

Passo 5

Se \ln y\to1, então y\to e^{1}=e. Como y=(1+1/x)^{x}, concluímos o limite desejado.

Resposta

\mathrm{e}

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