Calcule os seguintes limites:
lim x infty(1+ax)^b x.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxtoinftyl(1+axr)^b,x,
onde a e b são constantes. Vamos usar a técnica de tomar o logaritmo para transformar a potência em produto e depois voltar pelo exponencial.

Passo 2

Denote
L = limxtoinftyl(1+axr)^b,x
Supondo que esse limite exista e seja positivo, podemos escrever
ln L = limxtoinftylnl(1+axr)^b,x = limxtoinftyb,x;lnl(1+axr)

Passo 3

Para avaliar
limxtoinftyb,x;lnl(1+axr),
note que, ao definir t=ax, temos tto0 quando xtoinfty. Então
lnl(1+axr) =ln(1+t) e b,x = b,at
Logo
b,x;lnl(1+axr) = b,at,ln(1+t)

Passo 4

Sabemos que
limtto0ln(1+t)t=1
Logo
limxtoinftyb,x;lnl(1+axr) =limtto0b,at,ln(1+t) =b,a;limtto0ln(1+t)t =b,a
Portanto
ln L = b,a

Passo 5

Voltando pelo exponencial, obtemos
L = e^ln L = e^b,a

Resposta

limxtoinftyl(1+axr)^b,x = e^a b

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