Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem <= n), isto é, de Pn=a0+a1 t+ldots+an t^n, a0, ldots, an in R, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
f^prime prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado define o espaço de polinômios de grau <= n
Pn = ,a0+a1t+cdots+ant^nmid a0,dots,aninR
e o subconjunto
S = ,finPnmid f''(0)=0
Vamos verificar se S é subespaço vetorial de Pn e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão. Para isso precisaremos expressar f''(0) em função dos coeficientes de f e aplicar os critérios de subespaço (contém zero, fechado em soma e em multiplicação escalar).

Passo 2

Seja
f(t)=a0 + a1t + a2t^2 + cdots + ant^n
Então
f''(t) = 2a2 + (3cdot2),a3,t + cdots + (n(n-1)),an,t^,n-2,
e em particular
f''(0) = 2a2
Logo a condição f''(0)=0 equivale a
2a2=0 Long<=ftrightarrow a2=0

Passo 3

Com a2=0, o conjunto S fica
S = ,a0+a1t + a3t^3 + cdots + ant^nmid a0,a1,a3,dots,aninR
– O polinômio zero tem todos os ai=0, em particular a2=0, logo 0in S.
– Soma de dois polinômios em S preserva a2=0.
– Multiplicação escalar também preserva a2=0.
Portanto S é subespaço vetorial de Pn.

Passo 4

Um possível conjunto gerador (base) de S é
,1,;t,;t^3,;t^4,;dots,;t^n,
pois todo polinômio em S é combinação linear desses n monômios. Eles são linearmente independentes e geram S, então
dim S = n

Resposta

O conjunto finPnmid f''(0)=0 é subespaço de Pn e sua dimensão é n.

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