Exercício 4. (Apostol seção 1.10 exercícios 11 a 20) Quais dos subconjuntos dos polinômios de ordem
), isto é, de
, são subespaços vetoriais? Determine a dimensão dos que forem subespaços.
.
Passo 1
O enunciado define o espaço de polinômios de grau
e o subconjunto
Vamos verificar se
é subespaço vetorial de
e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão. Para isso precisaremos expressar
em função dos coeficientes de
e aplicar os critérios de subespaço (contém zero, fechado em soma e em multiplicação escalar).
Passo 2
Seja
Então
e em particular
Logo a condição
equivale a
Passo 3
Com
, o conjunto
fica
– O polinômio zero tem todos os
, em particular
, logo
.
– Soma de dois polinômios em preserva
.
– Multiplicação escalar também preserva .
Portanto é subespaço vetorial de
.
– Soma de dois polinômios em
– Multiplicação escalar também preserva
Portanto
Passo 4
Um possível conjunto gerador (base) de
é
pois todo polinômio em
é combinação linear desses
monômios. Eles são linearmente independentes e geram
, então
Resposta
O conjunto
é subespaço de
e sua dimensão é
.