5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
(y+x^3+x y^2) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(y + x^3 + x,y^2r),dx ;-; x,dy ;=;0
e pede um fator integrante e a solução geral. Vamos tratar isso como uma forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, onde
M(x,y)=y + x^3 + x,y^2, N(x,y)=-x
Verificamos que a equação não é exata, pois
partial Mpartial y=1+2x y, partial Npartial x=-1,
e 1+2xyneq -1. Para torná-la exata, buscamos um fator integrante mu(x,y).

Passo 2

Note que se multiplicarmos a forma original por
mu(x,y)=1x^2+y^2,
então
mu,M =y + x^3 + x,y^2x^2+y^2 =y,dx - x,dyx^2+y^2+ x,
pois x^3+x,y^2x^2+y^2=x. E
mu,N =-xx^2+y^2
Assim a forma torna-se
y,dx - x,dyx^2+y^2 ;+; x,dx ;=;0

Passo 3

Reconhecemos a diferencial do arco-tangente:
d!l(arctan(y/x)r) =x,dy - y,dxx^2+y^2 ;Longrightarrow; y,dx - x,dyx^2+y^2 =-,d!l(arctan(y/x)r)
Logo a equação com fator integrante fica
-,d!l(arctan(y/x)r);+;x,dx;=;0 ;Long<=ftrightarrow; d!l(-arctan(y/x)+tfracx^22r)=0

Passo 4

Integrando, obtemos
-arctanl(y/xr)+x^22=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação geral das soluções é
boxedarctan!l(y/xr)=x^22+C
O fator integrante utilizado foi mu(x,y)=1x^2+y^2.

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