Calcule os seguintes limites:
lim x +infty[xx+1]^x;

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto+inftyl[xx+1r]^x
O conteúdo envolvido é cálculo de limites com forma indeterminada do tipo 1^infty e vamos precisar usar a definição de exponencial via logaritmo.

Passo 2

Observamos que, quando xto+infty, a base xx+1to1 e o expoente xto+infty, gerando a indeterminação 1^infty. Para resolver, definimos
L = limxto+inftyl[xx+1r]^x
e estudamos ln L.

Passo 3

Calculamos o logaritmo da expressão:
ln L = limxto+infty x,lnl(xx+1r)
Como
lnl(xx+1r) = lnl(1+1xr)^-1 = -lnl(1+1xr),
temos
ln L = limxto+infty l[-,x,ln(1+tfrac1x)r]
Para uto0, ln(1+u)sim u. Aqui u=tfrac1xto0, logo
x,lnl(1+tfrac1xr)sim xcdottfrac1x=1,
e portanto
ln L = -1

Passo 4

Exponenciando, concluímos
L = e^-1

Resposta

e^-1

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