Calcule os seguintes limites:
lim x 1^+ x^ln (1x-1);

Passo 1

O enunciado pede
Calcular
limxto1^+x^lnl(tfrac1x-1r)
Este é um caso de forma indeterminada 1^infty. Vamos usar a técnica de escrever a potência como exponencial, aplicando logaritmo natural e, em seguida, estudar o limite do expoente.

Passo 2

Defina a função
f(x)=x^lnl(tfrac1x-1r)
Aplicando logaritmo natural em f(x) e voltando para a forma exponencial, obtemos
f(x)=expl(ln(x)cdotlnl(tfrac1x-1r)r)

Passo 3

Simplificamos o expoente:
ln(x),lnl(tfrac1x-1r) =ln(x)l(-ln(x-1)r) =-ln(x),ln(x-1)
Fazendo a mudança de variável h=x-1, com hto0^+, nota-se que ln(x)=ln(1+h)sim h e ln(x-1)=ln(h)to-infty. Logo o expoente vira
-ln(1+h),ln(h)sim -,hln(h)
E sabemos que
limhto0^+hln(h)=0,
portanto
limxto1^+l[-ln(x)ln(x-1)r]=0

Passo 4

Como o expoente tende a 0, o valor de f(x) tende a
exp(0)=1

Resposta

1

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