Determine:
integral 3 x^2+1x(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3x^2+1x,(x^2+1),dx
Este é um caso de função racional cuja antiderivada obtemos por frações parciais. Precisamos decompor o integrando em termos simples de 1/x e 1/(x^2+1).

Passo 2

Suponha a decomposição
3x^2+1x,(x^2+1) = Ax + Bx + Cx^2+1
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1) obtemos
3x^2+1 = A(x^2+1) + (Bx + C),x = A x^2 + A + Bx^2 + Cx
Reagrupando termos:
( A + B)x^2 + Cx + A = 3x^2 + 0cdot x + 1
Comparando coeficientes segue o sistema
A + B = 3, C = 0, A = 1
Logo A=1, B=2 e C=0. Portanto
3x^2+1x,(x^2+1) = 1x + 2xx^2+1

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral 1x,dx = lnl|xr|, integral 2xx^2+1,dx
fazendo u = x^2+1 du = 2x,dx, logo
integral 2xx^2+1,dx = integral 1u,du = lnl(ur) = lnl(x^2+1r)
Somando, obtemos a antiderivada geral.

Resposta

integral 3x^2+1x,(x^2+1),dx = lnl|xr| + lnl(x^2+1r) + C = ln!l(|x|,(x^2+1)r) + C

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