5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede um fator integrante e a sua solução geral. Vamos usar o método de equações exatas: testamos exatidão, achamos um fator integrante
que só dependa de
, tornamos a equação exata e então construímos uma função potencial
.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos
usando a condição
Calculamos
que de fato só depende de
. Portanto
Passo 4
Integramos
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
com
Agora é exata pois
.
Passo 6
Buscamos
tal que
Integramos em
:
Passo 7
Para achar
, imponho
logo
e
é constante.
Passo 8
A função potencial é
e a solução implícita geral vem de
.
Resposta
Fator integrante:
Solução geral: