5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
(x^2+y^2-a^2) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(x^2+y^2-a^2r),dx ;-;2xy,dy=0
e pede um fator integrante e a sua solução geral. Vamos usar o método de equações exatas: testamos exatidão, achamos um fator integrante mu(x) que só dependa de x, tornamos a equação exata e então construímos uma função potencial psi(x,y).

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=x^2+y^2-a^2, N(x,y)=-2xy
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=-2y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos mu(x) usando a condição
partial M/partial y;-;partial N/partial xN depender somente de (x)
Calculamos
2y-(-2y)-2xy =4y-2xy =-2x,
que de fato só depende de x. Portanto
mu'(x)mu(x)=-2x

Passo 4

Integramos
lnmu(x)=integral -2x,dx=-2ln x Longrightarrow mu(x)=e^-2ln x=x^-2

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-2, obtendo
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0
com
M^*(x,y)=x^2+y^2-a^2x^2 =1+y^2-a^2x^2, N^*(x,y)=-2xyx^2=-2yx
Agora é exata pois
partial M^*/partial y=2y/x=partial N^*/partial x.

Passo 6

Buscamos psi(x,y) tal que
partial psipartial x =M^*(x,y) =1+y^2-a^2x^2
Integramos em x:
psi(x,y) =integrall(1+(y^2-a^2)x^-2r)dx =x-(y^2-a^2)1x+h(y) =x+a^2-y^2x+h(y)

Passo 7

Para achar h(y), imponho
partial psipartial y =-2yx+h'(y) stackrel!=N^*(x,y)=-2yx,
logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 8

A função potencial é
psi(x,y) =x+a^2-y^2x,
e a solução implícita geral vem de psi(x,y)=C.

Resposta

Fator integrante:
mu(x)=x^-2
Solução geral:
x+a^2-y^2x=C

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