Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-2} 10^{\frac{4 x^{2}+6 x-2}{3 x+4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow -2} 10^{\frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é uma potência com base constante 10 e expoente dado pela função racional \dfrac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}.
  • O ponto de interesse para o limite é x=-2.
  • Não há outras condições ou dados adicionais no enunciado.

Passo 2

Estratégia e justificativa (de forma didática e intuitiva):
  • Uma propriedade útil: se uma função h(x) tem limite finito L quando x\to c, e a função a^{t} (com a>0) é contínua em t=L, então
\lim_{x\to c} a^{h(x)} = a^{\lim_{x\to c} h(x)}.
Isto acontece porque aplicar uma função contínua a uma sequência que converge dá o valor da função no limite.
  • Aqui a=10, que é positivo e a função t\mapsto 10^{t} é contínua para todo t. Logo basta calcular o limite do expoente
h(x)=\frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}
quando x\to -2, e então elevar 10 a esse limite.
  • Para calcular \lim_{x\to -2} h(x) podemos tentar substituição direta: se o numerador e denominador são funções contínuas (polinômios) e o denominador não for zero em x=-2, a substituição direta vale.

Passo 3

Avaliar numerador e denominador em x=-2 (passo a passo, sem pular contas):
  • Numerador: calcular 4x^{2}+6x-2 em x=-2:
4(-2)^{2}+6(-2)-2 = 4\cdot 4 -12 -2 = 16 -12 -2 = 2.
  • Denominador: calcular 3x+4 em x=-2:
3(-2)+4 = -6+4 = -2.
Observação importante: o denominador em x=-2 é -2, ou seja, diferente de zero. Portanto a substituição direta é permitida para o quociente.

Passo 4

Calcular o limite do expoente pela substituição direta:
\lim_{x\to -2} \frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4} = \frac{2}{-2} = -1.
Justificação: polinômios são funções contínuas; o quociente de funções contínuas é contínuo no ponto onde o denominador não é zero. Assim o limite do quociente é o quociente dos limites.

Passo 5

Aplicar a continuidade da função exponencial de base 10:
\lim_{x\to -2} 10^{\frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}} = 10^{\lim_{x\to -2} \frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}} = 10^{-1}.

Passo 6

Simplificar o resultado final:
10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1.
Pronto! Limite encontrado e explicado passo a passo — você consegue fazer isso na prova também: calcule o limite do expoente (por substituição direta se possível) e depois use a continuidade da exponencial.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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