Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é uma potência com base constante
e expoente dado pela função racional . - O ponto de interesse para o limite é
. - Não há outras condições ou dados adicionais no enunciado.
Passo 2
Estratégia e justificativa (de forma didática e intuitiva):
- Uma propriedade útil: se uma função
tem limite finito quando , e a função (com ) é contínua em , então
Isto acontece porque aplicar uma função contínua a uma sequência que converge dá o valor da função no limite.
- Aqui
, que é positivo e a função é contínua para todo . Logo basta calcular o limite do expoente
quando
, e então elevar
a esse limite.
- Para calcular
podemos tentar substituição direta: se o numerador e denominador são funções contínuas (polinômios) e o denominador não for zero em , a substituição direta vale.
Passo 3
Avaliar numerador e denominador em
(passo a passo, sem pular contas):
- Numerador: calcular
em :
- Denominador: calcular
em :
Observação importante: o denominador em
é
, ou seja, diferente de zero. Portanto a substituição direta é permitida para o quociente.
Passo 4
Calcular o limite do expoente pela substituição direta:
Justificação: polinômios são funções contínuas; o quociente de funções contínuas é contínuo no ponto onde o denominador não é zero. Assim o limite do quociente é o quociente dos limites.
Passo 5
Aplicar a continuidade da função exponencial de base
:
Passo 6
Simplificar o resultado final:
Pronto! Limite encontrado e explicado passo a passo — você consegue fazer isso na prova também: calcule o limite do expoente (por substituição direta se possível) e depois use a continuidade da exponencial.