Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}.
As informações dadas são apenas a expressão \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} e o comportamento de x quando tende a -\infty. Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Observação simples sobre a base: \dfrac{1}{3} é um número entre 0 e 1. Escrever isso em TeX:
\frac{1}{3}\in(0,1).
Para potências, sabe-se que se a\in(0,1) então a^{t} tende a 0 quando t\to+\infty e tende a +\infty quando t\to-\infty. Vou justificar isso passo a passo abaixo.

Passo 3

Reescrever a potência de forma mais conveniente. Usando propriedades de expoentes:
\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=3^{-x}.
Essa reescrita é útil porque a base 3 é maior que 1, e expoentes com sinal trocado ficam mais fáceis de interpretar.

Passo 4

Fazer a mudança de variável mental: defina y=-x. Quando x\to -\infty então y\to +\infty. Substituindo na expressão do Passo 3:
3^{-x}=3^{y}\quad\text{com}\quad y\to+\infty.
Agora o limite se transforma em
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=\lim_{y\to+\infty}3^{y}.

Passo 5

Entender o comportamento de 3^{y} quando y\to+\infty. A função exponencial de base maior que 1 cresce sem limite quando o expoente cresce:
\lim_{y\to+\infty}3^{y}=+\infty.
Isso pode ser visto também escrevendo 3^{y}=e^{y\ln 3}. Como \ln 3>0 e y\to+\infty, tem-se y\ln 3\to+\infty e, portanto, e^{y\ln3}\to+\infty.

Passo 6

Exemplos numéricos para intuição: para x=-1 tem-se \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=3; para x=-2 tem-se \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=9; para x=-5 tem-se \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-5}=3^{5}=243. À medida que x fica mais negativo, os valores crescem muito, apontando para +\infty.

Passo 7

Conclusão: combinando as reescritas e o comportamento da exponencial, concluímos que
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=+\infty.

Resposta

+\infty

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