Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
As informações dadas são apenas a expressão
e o comportamento de
quando tende a
. Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Observação simples sobre a base:
é um número entre
e
. Escrever isso em TeX:
Para potências, sabe-se que se
então
tende a
quando
e tende a
quando
. Vou justificar isso passo a passo abaixo.
Passo 3
Reescrever a potência de forma mais conveniente. Usando propriedades de expoentes:
Essa reescrita é útil porque a base
é maior que
, e expoentes com sinal trocado ficam mais fáceis de interpretar.
Passo 4
Fazer a mudança de variável mental: defina
. Quando
então
. Substituindo na expressão do Passo 3:
Agora o limite se transforma em
Passo 5
Entender o comportamento de
quando
. A função exponencial de base maior que
cresce sem limite quando o expoente cresce:
Isso pode ser visto também escrevendo
. Como
e
, tem-se
e, portanto,
.
Passo 6
Exemplos numéricos para intuição: para
tem-se
; para
tem-se
; para
tem-se
. À medida que
fica mais negativo, os valores crescem muito, apontando para
.
Passo 7
Conclusão: combinando as reescritas e o comportamento da exponencial, concluímos que