Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to2} 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é x\mapsto 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • Se substituirmos x=2 diretamente no expoente obtemos uma forma \frac{0}{0}, pois x^{2}-4=2^{2}-4=0 e x-2=0. Isso indica que o expoente é uma expressão que precisa ser simplificada antes de avaliar o limite.

Passo 2

Vamos manipular a expressão do expoente para tirar a indeterminação. Observe o numerador x^{2}-4; isso é uma diferença de quadrados que fatoriza assim:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.
Explicando com calma: fatorar significa reescrever x^{2}-4 como produto de dois fatores. Como um desses fatores é exatamente x-2, ele cancela com o denominador x-2, deixando x+2. Essa simplificação é válida para todos x diferentes de 2; para o limite não precisamos do valor no ponto, apenas do comportamento quando x se aproxima de 2.

Passo 3

Usando a simplificação do passo anterior, a função original é igual a 3^{x+2} para todo x\neq2. Logo, para fins de limite,
\lim_{x\to2} 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}} = \lim_{x\to2} 3^{x+2}.
Aqui aproveitamos que estamos calculando limite (e não o valor no ponto): se duas funções coincidem em todo ponto de uma vizinhança de 2 exceto possivelmente em 2 em si, elas têm o mesmo limite em 2.

Passo 4

Agora aplicamos uma propriedade muito útil: a função t\mapsto 3^{t} é contínua (para base 3>0, 3\neq1). Para funções contínuas, o limite da composição é a composição dos limites. Ou seja, se \lim_{x\to2}(x+2)=L, então
\lim_{x\to2} 3^{x+2}=3^{\lim_{x\to2}(x+2)}.
Calcule o limite do expoente:
\lim_{x\to2}(x+2)=2+2=4.

Passo 5

Substituindo o valor do expoente obtido no passo anterior, obtemos
\lim_{x\to2} 3^{x+2}=3^{4}.
Para fecharmos completamente: 3^{2}=9, 3^{3}=27 e 3^{4}=81.

Resposta

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