Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Se substituirmos
diretamente no expoente obtemos uma forma , pois e . Isso indica que o expoente é uma expressão que precisa ser simplificada antes de avaliar o limite.
Passo 2
Vamos manipular a expressão do expoente para tirar a indeterminação. Observe o numerador
; isso é uma diferença de quadrados que fatoriza assim:
Portanto, para
,
Explicando com calma: fatorar significa reescrever
como produto de dois fatores. Como um desses fatores é exatamente
, ele cancela com o denominador
, deixando
. Essa simplificação é válida para todos
diferentes de
; para o limite não precisamos do valor no ponto, apenas do comportamento quando
se aproxima de
.
Passo 3
Usando a simplificação do passo anterior, a função original é igual a
para todo
. Logo, para fins de limite,
Aqui aproveitamos que estamos calculando limite (e não o valor no ponto): se duas funções coincidem em todo ponto de uma vizinhança de
exceto possivelmente em
em si, elas têm o mesmo limite em
.
Passo 4
Agora aplicamos uma propriedade muito útil: a função
é contínua (para base
,
). Para funções contínuas, o limite da composição é a composição dos limites. Ou seja, se
, então
Calcule o limite do expoente:
Passo 5
Substituindo o valor do expoente obtido no passo anterior, obtemos
Para fecharmos completamente:
,
e
.