1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{-80 x}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{-80 x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável x tende a 0.
  • A expressão é uma razão envolvendo \ln(1+x) e x.
  • Não há outros dados ou restrições.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada ao substituir x=0:
\ln(1+0)=\ln 1=0 \quad\text{e}\quad -80\cdot 0=0,
então a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que podemos aplicar técnicas clássicas de limite (por exemplo L’Hôpital ou expansão) para obter o valor.

Passo 3

Apresentar a ferramenta que vou usar: a Regra de L’Hôpital (forma simples).
  • Regra de L’Hôpital (caso \tfrac{0}{0}): Se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), com f(a)=g(a)=0 e g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (ou seja finito).
Aqui f(x)=\ln(1+x) e g(x)=-80x. Ambas são diferenciáveis perto de 0 e formam 0/0, então as hipóteses da regra são satisfeitas.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias:
  • Derivada de f(x)=\ln(1+x) é
f'(x)=\frac{1}{1+x}.
  • Derivada de g(x)=-80x é
g'(x)=-80.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{-80 x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\dfrac{1}{1+x}}{-80}.

Passo 5

Avaliar o limite da razão das derivadas. A função \dfrac{1}{1+x} é contínua em x=0, logo
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\dfrac{1}{1+x}}{-80} = \frac{\dfrac{1}{1+0}}{-80} = \frac{1}{-80} = -\frac{1}{80}.

Passo 6

Breve verificação alternativa (intuição): usando a expansão para x pequeno,
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots,
portanto \dfrac{\ln(1+x)}{x}\to 1 quando x\to 0, e como há o fator constante -80 no denominador o limite final é -\tfrac{1}{80}. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

-\dfrac{1}{80}

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