- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável
tende a . - A expressão é uma razão envolvendo
e . - Não há outros dados ou restrições.
Passo 2
Verificar a forma indeterminada ao substituir
:
então a expressão tem a forma indeterminada
. Isso indica que podemos aplicar técnicas clássicas de limite (por exemplo L’Hôpital ou expansão) para obter o valor.
Passo 3
Apresentar a ferramenta que vou usar: a Regra de L’Hôpital (forma simples).
- Regra de L’Hôpital (caso
): Se e são funções diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), com e perto de , então
desde que o limite à direita exista (ou seja finito).
Aqui e
. Ambas são diferenciáveis perto de
e formam
, então as hipóteses da regra são satisfeitas.
Aqui
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias:
- Derivada de
é
- Derivada de
é
Aplicando L’Hôpital:
Passo 5
Avaliar o limite da razão das derivadas. A função
é contínua em
, logo
Passo 6
Breve verificação alternativa (intuição): usando a expansão para
pequeno,
portanto
quando
, e como há o fator constante
no denominador o limite final é
. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.