1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+2 x)}{7 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+2x)}{7x}.
Informações dadas:
  • A expressão no numerador é \ln(1+2x).
  • A expressão no denominador é 7x.
  • A variável tende para 0: x\to 0.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro observar o tipo de indeterminação ao substituir x=0:
\ln(1+2\cdot 0)=\ln(1)=0,\qquad 7\cdot 0=0,
portanto temos uma forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Quando aparece 0/0 precisamos manipular a expressão (ou usar um teorema) para transformar o limite numa forma que possa ser avaliada.

Passo 3

Vou usar a regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta padrão para limites do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}. Enunciado (em palavras simples): se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista. Aqui f(x)=\ln(1+2x) e g(x)=7x. As condições locais de diferenciabilidade valem, então podemos aplicar.

Passo 4

Calcular as derivadas:
  • Para f(x)=\ln(1+2x) usamos a regra da cadeia: se h(x)=\ln(u(x)) então h'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Com u(x)=1+2x temos u'(x)=2. Logo
f'(x)=\frac{2}{1+2x}.
  • Para g(x)=7x temos g'(x)=7.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{7x}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{2}{1+2x}}{7}.

Passo 5

Simplificar a expressão do limite:
\frac{\dfrac{2}{1+2x}}{7}=\frac{2}{7(1+2x)}.
Agora avaliar o limite quando x\to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{2}{7(1+2x)}=\frac{2}{7(1+0)}=\frac{2}{7}.

Passo 6

Método alternativo (mais curto, conceito usado com frequência em provas): usar o limite padrão
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Fazendo u=2x obtemos
\frac{\ln(1+2x)}{7x}=\frac{2}{7}\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x},
e como 2x\to 0 quando x\to 0, a segunda parcela tende a 1. Logo novamente o limite é \dfrac{2}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{7}

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