- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão no numerador é
. - A expressão no denominador é
. - A variável tende para
: .
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro observar o tipo de indeterminação ao substituir
:
portanto temos uma forma indeterminada
. Quando aparece
precisamos manipular a expressão (ou usar um teorema) para transformar o limite numa forma que possa ser avaliada.
Passo 3
Vou usar a regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta padrão para limites do tipo
ou
. Enunciado (em palavras simples): se
e
, e
e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
, então
desde que o limite à direita exista. Aqui
e
. As condições locais de diferenciabilidade valem, então podemos aplicar.
Passo 4
Calcular as derivadas:
- Para
usamos a regra da cadeia: se então . Com temos . Logo
- Para
temos .
Aplicando L’Hôpital:
Passo 5
Simplificar a expressão do limite:
Agora avaliar o limite quando
:
Passo 6
Método alternativo (mais curto, conceito usado com frequência em provas): usar o limite padrão
Fazendo
obtemos
e como
quando
, a segunda parcela tende a
. Logo novamente o limite é
.