- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro simplifico a fração do denominador para deixar a expressão mais clara. Note que
logo dividir por
equivale a multiplicar por
. Portanto
Isto torna a forma do limite mais simples de manipular.
Passo 3
Quero obter uma forma padrão conhecida envolvendo
. Para isso escrevo
Multipliquei e dividi por
(ou seja, escrevi
) para que apareça o termo
, que tem um limite padrão quando
.
Passo 4
Faço a substituição auxiliar
. Quando
temos
. Então
Portanto o limite original fica
Passo 5
Agora avaliamos
. Essa é uma limite muito conhecido e vale
. Uma justificativa simples usando a regra de l’Hôpital é:
- Quando
tanto quanto vão para , temos uma forma . - Derivando numerador e denominador:
- Aplicando l’Hôpital:
(Outra justificativa possível é a expansão em série
, que também mostra a razão tende a
.)
Passo 6
Substituindo esse resultado de volta:
Faço a multiplicação:
.