1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+26 x)}{x / 13}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{\ln(1+26x)}{x/13}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \ln(1+26x).
  • O denominador é x/13.
  • O ponto de interesse é x \to 0.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro simplifico a fração do denominador para deixar a expressão mais clara. Note que
\frac{x}{13} = \frac{1}{13}\,x,
logo dividir por \dfrac{x}{13} equivale a multiplicar por 13. Portanto
\frac{\ln(1+26x)}{x/13} = \frac{\ln(1+26x)}{\tfrac{1}{13}x} = 13\cdot\frac{\ln(1+26x)}{x}.
Isto torna a forma do limite mais simples de manipular.

Passo 3

Quero obter uma forma padrão conhecida envolvendo \ln(1+t)/t. Para isso escrevo
13\cdot\frac{\ln(1+26x)}{x} = 13\cdot 26\cdot\frac{\ln(1+26x)}{26x}.
Multipliquei e dividi por 26 (ou seja, escrevi \dfrac{1}{x} = 26\cdot\dfrac{1}{26x}) para que apareça o termo \dfrac{\ln(1+26x)}{26x}, que tem um limite padrão quando x\to0.

Passo 4

Faço a substituição auxiliar \\ u=26x. Quando x\to0 temos u\to0. Então
\frac{\ln(1+26x)}{26x} = \frac{\ln(1+u)}{u}.
Portanto o limite original fica
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+26x)}{x/13} = 13\cdot 26\cdot\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 5

Agora avaliamos \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}. Essa é uma limite muito conhecido e vale 1. Uma justificativa simples usando a regra de l’Hôpital é:
  • Quando u\to0 tanto \ln(1+u) quanto u vão para 0, temos uma forma 0/0.
  • Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{du}\big(\ln(1+u)\big)=\frac{1}{1+u},\qquad \frac{d}{du}(u)=1.
  • Aplicando l’Hôpital:
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u} = \lim_{u\to0}\frac{1}{1+u} = \frac{1}{1+0}=1.
(Outra justificativa possível é a expansão em série \ln(1+u)=u-\tfrac{u^2}{2}+\cdots, que também mostra a razão tende a 1.)

Passo 6

Substituindo esse resultado de volta:
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+26x)}{x/13} = 13\cdot 26 \cdot 1 = 13\cdot 26.
Faço a multiplicação: 13\cdot 26 = 13\cdot(20+6)=260+78=338.

Resposta

338

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