Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sqrt{x+3}}{2 x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a infinito da expressão
\frac{x+\sqrt{x+3}}{2x-1}.
Informações dadas: a função é a razão entre o polinômio x acrescido de \sqrt{x+3} e o polinômio 2x-1. A única pergunta é calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sqrt{x+3}}{2x-1}.

Passo 2

Vamos transformar a expressão para identificar os termos que dominam quando x\to\infty. Divido numerador e denominador por x (que é diferente de zero para x grande), obtendo:
\frac{x+\sqrt{x+3}}{2x-1} = \frac{\dfrac{x}{x}+\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}}{\dfrac{2x}{x}-\dfrac{1}{x}} = \frac{1+\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}}{2-\dfrac{1}{x}}.

Passo 3

Agora preciso estudar o comportamento do termo \dfrac{\sqrt{x+3}}{x} quando x\to\infty. Reescrevo esse termo para ver seu decaimento:
\frac{\sqrt{x+3}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{x}\sqrt{1+\frac{3}{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac{3}{x}}.
Explicação didática:
  • O fator \dfrac{1}{\sqrt{x}} tende a 0 quando x\to\infty, porque a raiz cresce sem limite e seu inverso vai a zero.
  • O fator \sqrt{1+\dfrac{3}{x}} tende a 1 quando x\to\infty, pois \dfrac{3}{x}\to0 e a função raiz é contínua em torno de 1.
    Produto de um termo que tende a 0 por um termo que tende a 1 tende a 0. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+3}}{x}=0.

Passo 4

Com o resultado do passo anterior, volto à expressão do passo 2 e tomo limites termo a termo (é permitido porque o denominador converge para um número não nulo):
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}}{2-\dfrac{1}{x}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\Big(1+\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}\Big)}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\Big(2-\dfrac{1}{x}\Big)} = \frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação rápida (útil na prova): para x muito grande o termo x domina \sqrt{x+3}, então o numerador é aproximadamente x e o denominador aproximadamente 2x, daí o quociente aproxima-se de 1/2. A argumentação acima torna isso rigoroso.

Resposta

\frac{1}{2}

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