Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a infinito da expressão
Informações dadas: a função é a razão entre o polinômio
acrescido de
e o polinômio
. A única pergunta é calcular
Passo 2
Vamos transformar a expressão para identificar os termos que dominam quando
. Divido numerador e denominador por
(que é diferente de zero para
grande), obtendo:
Passo 3
Agora preciso estudar o comportamento do termo
quando
. Reescrevo esse termo para ver seu decaimento:
Explicação didática:
- O fator
tende a quando , porque a raiz cresce sem limite e seu inverso vai a zero. - O fator
tende a quando , pois e a função raiz é contínua em torno de .
Produto de um termo que tende apor um termo que tende a tende a . Logo
Passo 4
Com o resultado do passo anterior, volto à expressão do passo 2 e tomo limites termo a termo (é permitido porque o denominador converge para um número não nulo):
Passo 5
Interpretação rápida (útil na prova): para
muito grande o termo
domina
, então o numerador é aproximadamente
e o denominador aproximadamente
, daí o quociente aproxima-se de
. A argumentação acima torna isso rigoroso.