Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}},
que é uma situação de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar técnicas de racionalização para eliminar as raízes.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada avaliando diretamente em x=4:
3-\sqrt{5+4}=3-3=0, \quad 1-\sqrt{5-4}=1-1=0.
Logo temos \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Racionalizamos o numerador usando o conjugado 3+\sqrt{5+x}:
\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} \cdot \frac{3+\sqrt{5+x}}{3+\sqrt{5+x}} = \frac{9-(5+x)}{(1-\sqrt{5-x})(3+\sqrt{5+x})} = \frac{4-x}{(1-\sqrt{5-x})(3+\sqrt{5+x})}.

Passo 4

Observamos que 4-x=-(x-4) e 1-\sqrt{5-x}=-(\sqrt{5-x}-1). Assim
\frac{4-x}{(1-\sqrt{5-x})(3+\sqrt{5+x})} = \frac{x-4}{(\sqrt{5-x}-1)(3+\sqrt{5+x})}.
Agora racionalizamos \sqrt{5-x}-1 com o conjugado \sqrt{5-x}+1:
\frac{x-4}{(\sqrt{5-x}-1)(3+\sqrt{5+x})} \cdot \frac{\sqrt{5-x}+1}{\sqrt{5-x}+1} = \frac{(x-4)(\sqrt{5-x}+1)}{(4-x)(3+\sqrt{5+x})} = -\frac{\sqrt{5-x}+1}{3+\sqrt{5+x}}.

Passo 5

Finalmente, substituímos x=4 em
-\frac{\sqrt{5-x}+1}{3+\sqrt{5+x}}
para obter
-\frac{\sqrt{5-4}+1}{3+\sqrt{5+4}} = -\frac{1+1}{3+3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

Exercícios relacionados