Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}.
Como ao substituir x=1 obtemos a forma \tfrac{0}{0}, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0 e as derivadas existem, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=1: \sqrt{1}-1=0 e \sqrt[3]{1}-1=0. Logo temos \tfrac{0}{0} e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
  • Para f(x)=\sqrt{x}-1=x^{1/2}-1,
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Para g(x)=\sqrt[3]{x}-1=x^{1/3}-1,
g'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3\,x^{2/3}}.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, o limite passa a ser
\lim_{x\to1}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to1}\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\tfrac{1}{3\,x^{2/3}}} =\frac{\tfrac{1}{2\sqrt{1}}}{\tfrac{1}{3\cdot1^{2/3}}} =\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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