Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}.
Este é um caso de forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar o truque de multiplicar pelo conjugado da expressão no numerador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+1:
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} =\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} =\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} =\frac{1}{\sqrt{x}+1}.
Agora basta tomar o limite de \tfrac{1}{\sqrt{x}+1} quando x\to1:
\lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x}+1} =\frac{1}{1+1} =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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