Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}\

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}.
Este é um problema de limite que gera a forma indeterminada 0/0, então vamos usar a regra de l’Hôpital, que consiste em derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=1:
\sqrt[3]{1}-1=0, \quad \sqrt[4]{1}-1=0,
logo obtemos 0/0, o que justifica o uso da regra de l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt[3]{x}-1\bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}\bigr) =\frac{1}{3\,x^{2/3}},
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt[4]{x}-1\bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/4}\bigr) =\frac{1}{4\,x^{3/4}}.

Passo 4

O limite original passa a ser o limite do quociente das derivadas:
\lim_{x\to1} \frac{\tfrac{1}{3\,x^{2/3}}}{\tfrac{1}{4\,x^{3/4}}} =\frac{\tfrac{1}{3\cdot1^{2/3}}}{\tfrac{1}{4\cdot1^{3/4}}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{4}} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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