Prove as seguintes identidades:
\frac{1+\operatorname{sen} 2 \alpha+\cos 2 \alpha}{1+\operatorname{sen} 2 \alpha-\cos 2 \alpha}=\cot \alpha

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\frac{1+\operatorname{sen}2\alpha+\cos2\alpha}{1+\operatorname{sen}2\alpha-\cos2\alpha}=\cot\alpha.
Informações dadas: a expressão à esquerda depende de \alpha através de \operatorname{sen}2\alpha e \cos2\alpha. A tarefa é transformar a expressão da esquerda até obter \cot\alpha. Não há outros dados numéricos; devemos usar identidades trigonométricas conhecidas.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as identidades que usaremos (isto é importante para poder aplicar na prova):
\operatorname{sen}2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha,
\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha-\operatorname{sen}^{2}\alpha,
\operatorname{sen}^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1.
O que cada coisa significa:
  • \operatorname{sen}2\alpha é o seno do ângulo 2\alpha e a identidade diz que ele vale 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha.
  • \cos2\alpha é o cosseno de 2\alpha e pode ser escrito como \cos^{2}\alpha-\operatorname{sen}^{2}\alpha.
  • A última é a identidade pitagórica, que relaciona seno e cosseno de um mesmo ângulo.
    Usaremos essas fórmulas para reescrever numerador e denominador.

Passo 3

Substituímos \operatorname{sen}2\alpha e \cos2\alpha na expressão original. Para o numerador:
\begin{aligned} \text{num} &= 1+\operatorname{sen}2\alpha+\cos2\alpha\\\ &= 1 + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha + \bigl(\cos^{2}\alpha-\operatorname{sen}^{2}\alpha\bigr). \end{aligned}

Passo 4

Agora simplificamos o numerador usando \operatorname{sen}^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1. Observe que
1 - \operatorname{sen}^{2}\alpha = \cos^{2}\alpha,
portanto
\begin{aligned} \text{num} &= 1 + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha + \cos^{2}\alpha - \operatorname{sen}^{2}\alpha\\\ &= \bigl(1 - \operatorname{sen}^{2}\alpha\bigr) + \cos^{2}\alpha + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\\\ &= \cos^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\\\ &= 2\cos^{2}\alpha + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha. \end{aligned}
Fatorando 2\cos\alpha obtemos
\text{num} = 2\cos\alpha\bigl(\cos\alpha+\operatorname{sen}\alpha\bigr).

Passo 5

Agora o denominador. Substituindo as identidades:
\begin{aligned} \text{den} &= 1+\operatorname{sen}2\alpha-\cos2\alpha\\\ &= 1 + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha - \bigl(\cos^{2}\alpha-\operatorname{sen}^{2}\alpha\bigr)\\\ &= 1 + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha - \cos^{2}\alpha + \operatorname{sen}^{2}\alpha. \end{aligned}
Usando 1-\cos^{2}\alpha=\operatorname{sen}^{2}\alpha, temos
\begin{aligned} \text{den} &= \bigl(1-\cos^{2}\alpha\bigr) + \operatorname{sen}^{2}\alpha + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\\\ &= \operatorname{sen}^{2}\alpha + \operatorname{sen}^{2}\alpha + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha\\\ &= 2\operatorname{sen}^{2}\alpha + 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha. \end{aligned}
Fatorando 2\operatorname{sen}\alpha obtemos
\text{den} = 2\operatorname{sen}\alpha\bigl(\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha\bigr).

Passo 6

Agora dividimos numerador por denominador:
\begin{aligned} \frac{\text{num}}{\text{den}} &= \frac{2\cos\alpha\bigl(\cos\alpha+\operatorname{sen}\alpha\bigr)}{2\operatorname{sen}\alpha\bigl(\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha\bigr)}. \end{aligned}
Podemos cancelar 2 e o fator comum \bigl(\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha\bigr), desde que esse fator seja diferente de zero (ou seja, para valores de \alpha onde a expressão original está definida). Após o cancelamento resta
\frac{\text{num}}{\text{den}} = \frac{\cos\alpha}{\operatorname{sen}\alpha} = \cot\alpha.

Passo 7

Comentário sobre domínio: a manipulação é válida sempre que \operatorname{sen}\alpha\neq 0 (para que \cot\alpha esteja definida) e \operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha\neq 0 (para que não tenhamos cancelado zero). Nessas situações a igualdade é verdadeira; portanto a identidade foi provada onde as expressões são definidas.

Resposta

\cot\alpha

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