Prove as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
Informações dadas: a expressão à esquerda depende de
através de
e
. A tarefa é transformar a expressão da esquerda até obter
. Não há outros dados numéricos; devemos usar identidades trigonométricas conhecidas.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as identidades que usaremos (isto é importante para poder aplicar na prova):
O que cada coisa significa:
-
é o seno do ângulo e a identidade diz que ele vale . -
é o cosseno de e pode ser escrito como . - A última é a identidade pitagórica, que relaciona seno e cosseno de um mesmo ângulo.
Usaremos essas fórmulas para reescrever numerador e denominador.
Passo 3
Substituímos
e
na expressão original. Para o numerador:
Passo 4
Agora simplificamos o numerador usando
. Observe que
portanto
Fatorando
obtemos
Passo 5
Agora o denominador. Substituindo as identidades:
Usando
, temos
Fatorando
obtemos
Passo 6
Agora dividimos numerador por denominador:
Podemos cancelar
e o fator comum
, desde que esse fator seja diferente de zero (ou seja, para valores de
onde a expressão original está definida). Após o cancelamento resta
Passo 7
Comentário sobre domínio: a manipulação é válida sempre que
(para que
esteja definida) e
(para que não tenhamos cancelado zero). Nessas situações a igualdade é verdadeira; portanto a identidade foi provada onde as expressões são definidas.