Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[p]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[p]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}
onde p e n são constantes inteiras positivas. O conteúdo de matéria envolve limites de tipo “ 0/0” e podemos usar a expansão em série (ou derivadas) em torno de x=1 para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=1: \sqrt[p]{1}-1=0 e \sqrt[n]{1}-1=0.
Logo temos um limite do tipo
\frac{0}{0},
o que nos autoriza a usar aproximações lineares (derivadas) de cada função em torno de x=1.

Passo 3

Definimos
f(x)=\sqrt[p]{x}=x^{1/p},\quad g(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}.
As derivadas em x=1 são
f'(x)=\frac{1}{p}\,x^{1/p-1}\quad\Rightarrow\quad f'(1)=\frac{1}{p},
g'(x)=\frac{1}{n}\,x^{1/n-1}\quad\Rightarrow\quad g'(1)=\frac{1}{n}.

Passo 4

Pelo limite de razão de funções com indeterminação 0/0, vale
\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{g(x)-g(1)}=\frac{f'(1)}{g'(1)}=\frac{\frac{1}{p}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{p}.

Resposta

\displaystyle \frac{n}{p}

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