Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{2 x}-1}{2^{5 x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{3^{2x}-1}{2^{5x}-1}.
O conteúdo envolve limites de funções exponenciais e vamos usar o fato de que, para x pequeno,
a^{x}-1\sim x\ln(a).

Passo 2

Aplicando a aproximação em cada parte, para x perto de zero temos
3^{2x}-1\sim 2x\ln(3) \quad\text{e}\quad 2^{5x}-1\sim 5x\ln(2).

Passo 3

Substituindo essas aproximações na fração, obtemos
\frac{3^{2x}-1}{2^{5x}-1} \sim \frac{2x\ln(3)}{5x\ln(2)} = \frac{2\ln(3)}{5\ln(2)}.

Resposta

\lim_{x\to 0}\frac{3^{2x}-1}{2^{5x}-1} =\frac{2\ln(3)}{5\ln(2)}.

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