Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{3 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2^{3x}-1}{x}.
Aqui o conteúdo principal é limite de função exponencial próximo de zero, que pode ser abordado via derivada de 2^{3x} em x=0 ou via mudança de variável e uso do limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{a^{u}-1}{u}=\ln(a).

Passo 2

Fazemos a substituição
u=3x,
então, quando x\to0, temos u\to0 e
2^{3x}-1 = 2^{u}-1, \quad x = \frac{u}{3}.
Logo a expressão vira
\frac{2^{3x}-1}{x} = \frac{2^{u}-1}{\,u/3\,} = 3\;\frac{2^{u}-1}{u}.

Passo 3

Usamos o limite fundamental para exponenciais:
\lim_{u\to0}\frac{2^{u}-1}{u} = \ln(2).
Portanto,
\lim_{x\to0}\frac{2^{3x}-1}{x} = 3 \,\ln(2).

Resposta

3\ln(2)

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