Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
L = \lim_{x \to -\infty}\Bigl(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\Bigr)^{x^{2}}.
O conteúdo é reconhecimento de forma indeterminada 1^{\infty} e uso do logaritmo para converter em um limite exponencial.

Passo 2

Observe que, quando x\to -\infty, temos
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\to 1 \quad\text{e}\quad x^{2}\to +\infty,
logo a expressão é da forma 1^{\infty}. Para tratar esse caso, definimos
y = \Bigl(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\Bigr)^{x^{2}}
e calculamos \ln y.

Passo 3

Escrevendo
\ln y = x^{2}\,\ln\Bigl(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\Bigr),
note que
\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3} = 1 + \frac{4}{\,x^{2}-3\,}.
Chame u = \frac{4}{x^{2}-3}, que tende a zero. Usando a expansão \ln(1+u)=u - \tfrac{u^{2}}{2}+o(u^{2}), fica
\ln y = x^{2}\Bigl(u - \tfrac{u^{2}}{2} + o(u^{2})\Bigr).
Como u=\frac{4}{x^{2}-3}\sim\frac{4}{x^{2}}, temos
x^{2}\,u = \frac{4x^{2}}{x^{2}-3}\;\longrightarrow\;4, \qquad x^{2}\,\tfrac{u^{2}}{2}=O\bigl(\tfrac1{x^{2}}\bigr)\to0.
Logo
\lim_{x\to-\infty}\ln y = 4.

Passo 4

Como \ln y\to4, concluímos que
y \;\longrightarrow\; e^{4}.

Resposta

\boxed{e^{4}}.

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