Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} 2^{x}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite: \displaystyle \lim_{x\to -\infty} 2^{x}.
Informações dadas que vamos usar: a função é 2^{x} (base 2 maior que 1) e a variável x tende para -\infty.

Passo 2

Uma maneira simples de entender o comportamento é fazer a substituição \,t=-x. Quando x\to -\infty temos t\to +\infty. Reescrevendo a potência:
2^{x}=2^{-t}=\frac{1}{2^{t}}.

Passo 3

Agora precisamos ver o que acontece com 2^{t} quando t\to +\infty. Para inteiros n é claro que 2^{n} cresce sem limite quando n\to+\infty (dobrando a cada passo). Para real t qualquer, se n=\lfloor t\rfloor então n\to+\infty quando t\to+\infty e
2^{t}\ge 2^{n}\to +\infty.
Portanto \,2^{t}\to +\infty quando t\to +\infty.

Passo 4

Como \,2^{t}\to +\infty, a sua recíproca tende a zero:
\frac{1}{2^{t}}\to 0\quad\text{quando }t\to+\infty.
Lembrando que \frac{1}{2^{t}}=2^{x} pela substituição feita, concluímos o limite procurado.

Passo 5

Uma verificação por valores numéricos (intuitiva) ajuda a fixar: \,2^{-1}=\tfrac{1}{2}=0,5, \,2^{-5}=\tfrac{1}{32}\approx0,03125, \,2^{-10}=\tfrac{1}{1024}\approx0,00098 — os valores ficam cada vez mais próximos de zero conforme o expoente vai para -\infty.

Resposta

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