Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-2 x}{x^{2}-4 x+4}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4x+4}.
Este é um problema de limite de função racional que apresenta forma indeterminada 0/0 se fizermos substituição direta. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=2:
\text{numerador} = 2^{2}-2\cdot2 = 4-4 = 0, \quad \text{denominador} = 2^{2}-4\cdot2+4 = 4-8+4 = 0.
Logo, é 0/0. Precisamos fatorar numerador e denominador.

Passo 3

Fatoramos cada parte:
x^{2}-2x = x(x-2), \qquad x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}.
Assim,
\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4x+4} = \frac{x(x-2)}{(x-2)^{2}} = \frac{x}{x-2}, \quad x\neq 2.

Passo 4

Analisamos o limite da forma simplificada \dfrac{x}{x-2} quando x\to2.
Para x\to2^{+}, o denominador (x-2) é um pequeno número positivo, então
\lim_{x\to2^{+}}\frac{x}{x-2} = +\infty.
Para x\to2^{-}, o denominador é um pequeno número negativo, então
\lim_{x\to2^{-}}\frac{x}{x-2} = -\infty.
Como as duas chamadas laterais divergem de sinais opostos, o limite de dois lados não existe como número finito nem como +\infty ou -\infty.

Resposta

O limite não existe, pois
\lim_{x\to2^{-}}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4x+4} = -\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^{+}}\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4x+4} = +\infty.

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