Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x}{e^{b x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{a x}{e^{b x}-1},
onde a e b são constantes (números reais) dadas no problema. As perguntas implícitas são:
  • Qual é o valor desse limite quando x tende a 0?
  • Há alguma condição sobre a ou b para que o limite exista?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser estudada é \dfrac{a x}{e^{b x}-1}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • a e b são constantes, sem outro detalhe no enunciado.

Passo 2

Verifico o comportamento de numerador e denominador quando x\to 0.
  • O numerador tende a
\lim_{x\to 0} a x = 0,
pois é um múltiplo de x.
  • O denominador tende a
\lim_{x\to 0} \bigl(e^{b x}-1\bigr) = e^{0}-1 = 0.
Portanto, quando b\neq 0 temos uma indeterminação do tipo 0/0. (Se b=0 a expressão fica com denominador e^{0}-1=0 para todo x, ou seja a função é indefinida na vizinhança de 0; isso exige tratamento separado.)

Passo 3

Vou aplicar a Regra de L’Hôpital (método básico para resolver indeterminações 0/0).
Enunciado simples da regra (versão usada aqui): se para funções f e g vale \lim_{x\to c} f(x)=0 e \lim_{x\to c} g(x)=0 e as derivadas f' e g' existem numa vizinhança de c (exceto possivelmente em c), então, se existe, tem-se
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=a x e g(x)=e^{b x}-1. As derivadas são:
f'(x)=a, \qquad g'(x)=b e^{b x}.
Como f e g satisfazem a condição 0/0 para b\neq 0 e as derivadas existem, posso aplicar L’Hôpital e obter a nova limite das derivadas.

Passo 4

Calculo o limite das derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{a}{b e^{b x}} = \frac{a}{b e^{0}}.
Como e^{0}=1, isso simplifica (quando b\neq 0) para \dfrac{a}{b}.

Passo 5

Dou uma alternativa didática usando expansão em série (ou aproximação para pequenas x), que é um método muito útil na prova sem L’Hôpital.
Para u pequeno vale a expansão de Taylor
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\cdots.
Tomando u=b x obtemos
e^{b x}-1 = b x + \frac{(b x)^{2}}{2} + \cdots = b x\Bigl(1 + \frac{b x}{2} + \cdots\Bigr).
Assim
\frac{a x}{e^{b x}-1} = \frac{a x}{b x\bigl(1 + \tfrac{b x}{2}+\cdots\bigr)} = \frac{a}{b}\cdot\frac{1}{1 + \tfrac{b x}{2}+\cdots}.
Quando x\to 0 o fator \dfrac{1}{1+\tfrac{b x}{2}+\cdots} tende a 1, então o quociente tende a \dfrac{a}{b}. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital (novamente para b\neq 0).

Passo 6

Trato os casos especiais e concluo sobre existência do limite:
  • Se b\neq 0: a expressão tem a indeterminação 0/0 e ambos os métodos dão o mesmo resultado. O limite existe e vale \dfrac{a}{b}.
  • Se b=0: para todo x tem-se e^{b x}-1=e^{0}-1=0, então a função \dfrac{a x}{e^{b x}-1} está indefinida numa vizinhança de 0 (denominador identicamente zero) — não há limite finito bem definido. Mesmo se a=0, dividir por zero é inválido; portanto não se obtém um limite nesse caso.

Resposta

\dfrac{a}{b} (caso b\neq 0)
Não existe (expressão indefinida na vizinhança de 0) se b=0.

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