Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
e
são constantes (números reais) dadas no problema. As perguntas implícitas são:
- Qual é o valor desse limite quando
tende a ? - Há alguma condição sobre
ou para que o limite exista?
Informações relevantes fornecidas:
- A função a ser estudada é
. - O ponto de interesse é
. -
e são constantes, sem outro detalhe no enunciado.
Passo 2
Verifico o comportamento de numerador e denominador quando
.
- O numerador tende a
pois é um múltiplo de
.
- O denominador tende a
Portanto, quando
temos uma indeterminação do tipo
. (Se
a expressão fica com denominador
para todo
, ou seja a função é indefinida na vizinhança de
; isso exige tratamento separado.)
Passo 3
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital (método básico para resolver indeterminações
).
Enunciado simples da regra (versão usada aqui): se para funções
e
vale
e
e as derivadas
e
existem numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então, se existe, tem-se
Aqui
e
. As derivadas são:
Como
e
satisfazem a condição
para
e as derivadas existem, posso aplicar L’Hôpital e obter a nova limite das derivadas.
Passo 4
Calculo o limite das derivadas:
Como
, isso simplifica (quando
) para
.
Passo 5
Dou uma alternativa didática usando expansão em série (ou aproximação para pequenas
), que é um método muito útil na prova sem L’Hôpital.
Para
pequeno vale a expansão de Taylor
Tomando
obtemos
Assim
Quando
o fator
tende a
, então o quociente tende a
. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital (novamente para
).
Passo 6
Trato os casos especiais e concluo sobre existência do limite:
- Se
: a expressão tem a indeterminação e ambos os métodos dão o mesmo resultado. O limite existe e vale . - Se
: para todo tem-se , então a função está indefinida numa vizinhança de (denominador identicamente zero) — não há limite finito bem definido. Mesmo se , dividir por zero é inválido; portanto não se obtém um limite nesse caso.
Resposta
Não existe (expressão indefinida na vizinhança de