Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+2 x)}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{3x}.
Informações dadas:
  • A função do numerador é \ln(1+2x).
  • O denominador é 3x.
  • O ponto onde o limite é tomado é x\to 0.
O que é pedido: calcular o valor do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Verificar a forma indefinida para entender qual ferramenta usar.
Substituindo x=0 diretamente obtemos numerador \ln(1+0)=\ln 1=0 e denominador 3\cdot 0=0. Logo a expressão tem a forma 0/0, que é uma forma indeterminada e pede algum procedimento (ex.: uso de limites conhecidos, substituição, regra de L’Hôpital ou expansão).

Passo 3

Lembra de um limite fundamental que vamos usar (vou provar rapidamente):
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Explicação do porquê (via regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta básica para formas 0/0): a função t\mapsto \ln(1+t) e t\mapsto t ambos tendem a 0 quando t\to 0. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dt}\ln(1+t)=\dfrac{1}{1+t},
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dt}t=1.
    Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{1/(1+t)}{1}=\frac{1}{1+0}=1.
Esse é um fato bastante usado em limites com logaritmo.

Passo 4

Voltar ao nosso limite original e manipular algebricamente para usar o limite anterior.
Começo por fatorar 1/3:
\frac{\ln(1+2x)}{3x}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\ln(1+2x)}{x}.
Agora escrevo \dfrac{\ln(1+2x)}{x} como 2 vezes outra fração útil:
\frac{\ln(1+2x)}{x}=2\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x}.
Logo
\frac{\ln(1+2x)}{3x}=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x}.

Passo 5

Fazer a substituição t=2x. Quando x\to 0 temos t\to 0. Assim a última fração fica exatamente do tipo do passo anterior:
\frac{\ln(1+2x)}{2x}=\frac{\ln(1+t)}{t}\xrightarrow[t\to 0]{}1.
Portanto, combinando com o fator \dfrac{2}{3},
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{3x}=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}.

Passo 6

(Verificação alternativa — regra de L’Hôpital direta) Como a forma é 0/0, podemos aplicar L’Hôpital diretamente ao limite original: derivando numerador e denominador em relação a x,
  • derivada do numerador \ln(1+2x) é \dfrac{2}{1+2x},
  • derivada do denominador 3x é 3.
    Avalia-se então o quociente das derivadas em x\to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{2}{1+2x}}{3}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+0}=\frac{2}{3},
o mesmo resultado obtido antes (boa confirmação).

Resposta

\dfrac{2}{3}

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