O que é pedido: calcular o valor do limite quando x tende a 0.
Passo 2
Verificar a forma indefinida para entender qual ferramenta usar.
Substituindo x=0 diretamente obtemos numerador \ln(1+0)=\ln 1=0 e denominador 3\cdot 0=0. Logo a expressão tem a forma 0/0, que é uma forma indeterminada e pede algum procedimento (ex.: uso de limites conhecidos, substituição, regra de L’Hôpital ou expansão).
Passo 3
Lembra de um limite fundamental que vamos usar (vou provar rapidamente):
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Explicação do porquê (via regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta básica para formas 0/0): a função t\mapsto \ln(1+t) e t\mapsto t ambos tendem a 0 quando t\to 0. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
derivada do numerador: \dfrac{d}{dt}\ln(1+t)=\dfrac{1}{1+t},
derivada do denominador: \dfrac{d}{dt}t=1.
Portanto
(Verificação alternativa — regra de L’Hôpital direta) Como a forma é 0/0, podemos aplicar L’Hôpital diretamente ao limite original: derivando numerador e denominador em relação a x,
derivada do numerador \ln(1+2x) é \dfrac{2}{1+2x},
derivada do denominador 3x é 3.
Avalia-se então o quociente das derivadas em x\to 0: