Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{n+1}-x^{n}+x-1}{2 x^{n}-x^{n-1}-1}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{x^{n+1}-x^{n}+x-1}{2x^{n}-x^{n-1}-1}.
Ao substituir x=1, o numerador e o denominador ficam ambos iguais a zero, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que
\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to1}\frac{f'(x)}{g'(x)}
sempre que f(1)=g(1)=0 e as derivadas existam.

Passo 2

Calculamos a derivada do numerador
f(x)=x^{n+1}-x^{n}+x-1.
Temos
f'(x)=(n+1)x^{n}-n\,x^{n-1}+1.

Passo 3

Calculamos a derivada do denominador
g(x)=2x^{n}-x^{n-1}-1.
Temos
g'(x)=2n\,x^{n-1}-(n-1)\,x^{n-2}.

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas em x=1:
f'(1)=(n+1)\cdot1^{n}-n\cdot1^{n-1}+1=(n+1)-n+1=2,
g'(1)=2n\cdot1^{n-1}-(n-1)\cdot1^{n-2}=2n-(n-1)=n+1.
Pela Regra de L’Hôpital, o limite vale
\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f'(1)}{g'(1)} =\frac{2}{n+1}.

Resposta

\frac{2}{n+1}.

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