Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+m x)^{n}-(1+n x)^{m}}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2}\,.
Trata-se de uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar expansão em série (ou binomial) até a ordem x^2.

Passo 2

Expandindo cada termo até x^2:
(1+mx)^n = 1 + n\,m\,x + \frac{n(n-1)m^2}{2}\,x^2 + o(x^2),
(1+nx)^m = 1 + m\,n\,x + \frac{m(m-1)n^2}{2}\,x^2 + o(x^2).

Passo 3

Substituindo no numerador e cancelando os termos de ordem x^0 e x^1, ficamos com
\bigl(1 + n m x + \tfrac{n(n-1)m^2}{2}x^2\bigr) -\bigl(1 + m n x + \tfrac{m(m-1)n^2}{2}x^2\bigr) = \frac{n(n-1)m^2 - m(m-1)n^2}{2}\,x^2 + o(x^2).

Passo 4

Dividindo por x^2 e fazendo x\to0, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2} = \frac{n(n-1)m^2 - m(m-1)n^2}{2}.
Para simplificar o numerador:
n(n-1)m^2 - m(m-1)n^2 = m^2n^2 - m^2n - \bigl(m^2n^2 - mn^2\bigr) = mn\,(n - m).
Logo o valor do limite é
\frac{m\,n\,(n - m)}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{m\,n\,(n - m)}{2}

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