Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}-2 x-1}{x^{5}-2 x-1}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{3}-2x-1}{x^{5}-2x-1}.
O conteúdo é cálculo de limites de razão de polinômios e vamos usar a Regra de L’Hôpital, pois a substituição direta levará a uma forma indeterminada.

Passo 2

Vamos verificar a forma indeterminada pela substituição direta x=-1:
(-1)^{3}-2(-1)-1 = -1 + 2 -1 = 0,
(-1)^{5}-2(-1)-1 = -1 + 2 -1 = 0.
Logo, o quociente é da forma \tfrac{0}{0}, e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
numerador f(x)=x^{3}-2x-1
f'(x)=3x^{2}-2,
denominador g(x)=x^{5}-2x-1
g'(x)=5x^{4}-2.
Então o limite original é igual a
\lim_{x\to -1}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to -1}\frac{3x^{2}-2}{5x^{4}-2}.
Substituindo x=-1:
3(-1)^{2}-2 = 3 -2 =1,
5(-1)^{4}-2 = 5 -2 =3,
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\lim_{x\to -1}\frac{3x^{2}-2}{5x^{4}-2} = \frac{1}{3}.

Resposta

\frac{1}{3}

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