Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-2 x^{2}-4 x+8}{x^{4}-8 x^{2}+16}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-2x^{2}-4x+8}{x^{4}-8x^{2}+16}.
Ao substituir x=2 temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos o numerador por agrupamento:
x^{3}-2x^{2}-4x+8 = x^{2}(x-2)-4(x-2) = (x-2)\bigl(x^{2}-4\bigr) = (x-2)^{2}(x+2).

Passo 3

Fatoramos o denominador como quadrado de diferença de quadrados:
x^{4}-8x^{2}+16 = (x^{2}-4)^{2} = \bigl((x-2)(x+2)\bigr)^{2} = (x-2)^{2}(x+2)^{2}.

Passo 4

Cancelamos os fatores comuns (x-2)^{2} e simplificamos:
\frac{(x-2)^{2}(x+2)}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}} = \frac{1}{x+2},\quad x\neq 2.
Portanto
\lim_{x\to 2}\frac{x^{3}-2x^{2}-4x+8}{x^{4}-8x^{2}+16} = \lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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