Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{3 x+2}{x-1}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{3x+2}{x-1}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é uma função exponencial composta com uma função racional, ou seja, x aparece dentro do expoente \dfrac{3x+2}{x-1}.
  • A variável x tende para 0.

Passo 2

Identificar a estratégia: quando temos uma função composta f(g(x)) e queremos \lim_{x\to a} f(g(x)), existe um resultado muito útil: se
\lim_{x\to a} g(x) = L
e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(L).
Vamos aplicar isso com f(t)=e^{t} e g(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}. Um ponto importante: a função exponencial f(t)=e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Logo, basta calcular o limite do expoente g(x) quando x\to 0 e depois aplicar e^{(\cdot)} sobre esse limite.

Passo 3

Calcular o limite interno
\lim_{x\to 0} \frac{3x+2}{x-1}.
Regra para limites de funções racionais: se o numerador e o denominador têm limites finitos quando x\to a e o limite do denominador não é zero, então o limite da razão é a razão dos limites. Aqui:
  • \displaystyle\lim_{x\to 0} (3x+2) = 3\cdot 0 + 2 = 2.
  • \displaystyle\lim_{x\to 0} (x-1) = 0 - 1 = -1, que não é zero.
Portanto
\lim_{x\to 0} \frac{3x+2}{x-1} = \frac{2}{-1} = -2.

Passo 4

Aplicar a continuidade da exponencial: como \displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{3x+2}{x-1} = -2 e e^{t} é contínua em t=-2, temos
\lim_{x\to 0} e^{\frac{3x+2}{x-1}} = e^{-2}.

Resposta

e^{-2}

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