O enunciado pede o cálculo do limite \displaystyle \lim_{x\to 3} \log\!\left(\frac{6x+2}{4x+3}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A expressão dentro do log é a função racional \displaystyle \frac{6x+2}{4x+3}.
O ponto de interesse é x=3.
Vou assumir que \log é o logaritmo natural (convenção usual em cálculo). Se for outro logaritmo (base 10, por exemplo), o procedimento é idêntico — apenas o valor final muda de notação base.
Passo 2
Lembrete-teórico importante (didático e útil na prova): a função \log (logaritmo natural) é contínua em todo o intervalo (0,\infty). Isto significa que, se uma função h(x) tende a um valor L>0 quando x\to a, então
Portanto, para poder aplicar essa propriedade precisamos:
garantir que \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{6x+2}{4x+3} existe; e
que esse limite seja positivo.
Passo 3
Observação sobre a função interna: \displaystyle \frac{6x+2}{4x+3} é uma função racional (uma fração de polinômios). Teorema prático: funções racionais são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero. Aqui o denominador é 4x+3. Avaliando em x=3:
4\cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15 \neq 0.
Como o denominador não é zero em x=3, a função racional é contínua em x=3. Logo podemos calcular seu limite por substituição direta.
Passo 4
Calcular diretamente o numerador e denominador em x=3: