Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \log \left(\frac{6 x+2}{4 x+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\displaystyle \lim_{x\to 3} \log\!\left(\frac{6x+2}{4x+3}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro do log é a função racional \displaystyle \frac{6x+2}{4x+3}.
  • O ponto de interesse é x=3.
    Vou assumir que \log é o logaritmo natural (convenção usual em cálculo). Se for outro logaritmo (base 10, por exemplo), o procedimento é idêntico — apenas o valor final muda de notação base.

Passo 2

Lembrete-teórico importante (didático e útil na prova): a função \log (logaritmo natural) é contínua em todo o intervalo (0,\infty). Isto significa que, se uma função h(x) tende a um valor L>0 quando x\to a, então
\lim_{x\to a}\log(h(x))=\log\!\big(\lim_{x\to a}h(x)\big)=\log(L).
Portanto, para poder aplicar essa propriedade precisamos:
  1. garantir que \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{6x+2}{4x+3} existe; e
  2. que esse limite seja positivo.

Passo 3

Observação sobre a função interna: \displaystyle \frac{6x+2}{4x+3} é uma função racional (uma fração de polinômios). Teorema prático: funções racionais são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero. Aqui o denominador é 4x+3. Avaliando em x=3:
4\cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15 \neq 0.
Como o denominador não é zero em x=3, a função racional é contínua em x=3. Logo podemos calcular seu limite por substituição direta.

Passo 4

Calcular diretamente o numerador e denominador em x=3:
6\cdot 3 + 2 = 18 + 2 = 20, \qquad 4\cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15.
Portanto
\left.\frac{6x+2}{4x+3}\right|_{x=3}=\frac{20}{15}.

Passo 5

Simplificar a fração \dfrac{20}{15}. Dividindo numerador e denominador por 5:
\frac{20}{15}=\frac{4}{3}.
Esse valor é positivo ( \tfrac{4}{3}>0), o que permite aplicar a continuidade do \log no ponto.

Passo 6

Aplicando a continuidade da composição (log contínuo em (0,\infty) e a função interna contínua em x=3), obtemos
\lim_{x\to 3}\log\!\left(\frac{6x+2}{4x+3}\right) = \log\!\left(\lim_{x\to 3}\frac{6x+2}{4x+3}\right) = \log\!\left(\frac{4}{3}\right).

Resposta

\log\!\left(\dfrac{4}{3}\right)

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