Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e objetivo:
- Numerador: soma de potências de
com expoentes , e , ou seja , , . - Denominador:
. - Objetivo: encontrar o valor do limite quando
tende para .
Passo 2
Ideia geral (sem cálculos ainda): para
a técnica padrão é fatorar a maior potência de
presente (aquela que “domina”) para simplificar a expressão e ver quais termos vão a zero. Aqui a maior potência no numerador é
(isto é,
). Vou factorar
do numerador e também escrever
de forma que apareça um fator
no denominador, para cancelar.
Lembrete rápido sobre potências (útil para a conta):
-
. - Se
, , logo (quando escrever dessa forma estou usando que , o que é verdade para ).
Passo 3
Fatorando
no numerador:
Agora calcular os expoentes dentro do parêntese:
Portanto
Passo 4
Escrever o denominador fatorado por
:
Agora substituo as duas expressões na fração e simplifico o fator
:
Passo 5
Agora vou aplicar regras básicas de limites: se
e
com
, então
. Avalio os limites das partes:
Logo o numerador da expressão simplificada tende a
e o denominador tende a
. Como
, o limite da razão é
Passo 6
Complemento didático/intuitivo: entre os termos
,
,
o que cresce mais rápido quando
é
. Assim o comportamento assintótico do numerador é dominado por
. O denominador é proporcional a
também (pois
). Em termos práticos, a expressão se aproxima de
quando
é grande, e os termos menores no numerador tornam-se irrelevantes.