Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}.
Informações dadas e objetivo:
  • Numerador: soma de potências de x com expoentes \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{4}, ou seja \sqrt{x}=x^{1/2}, \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, \sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
  • Denominador: \sqrt{2x+1}.
  • Objetivo: encontrar o valor do limite quando x tende para +\infty.

Passo 2

Ideia geral (sem cálculos ainda): para x\to\infty a técnica padrão é fatorar a maior potência de x presente (aquela que “domina”) para simplificar a expressão e ver quais termos vão a zero. Aqui a maior potência no numerador é x^{1/2} (isto é, \sqrt{x}). Vou factorar \sqrt{x} do numerador e também escrever \sqrt{2x+1} de forma que apareça um fator \sqrt{x} no denominador, para cancelar.
Lembrete rápido sobre potências (útil para a conta):
  • x^a/x^b = x^{a-b}.
  • Se x>0, \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}, logo \sqrt{2x+1}=\sqrt{x}\sqrt{2+1/x} (quando escrever dessa forma estou usando que x>0, o que é verdade para x\to\infty).

Passo 3

Fatorando \sqrt{x}=x^{1/2} no numerador:
\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x} = x^{1/2}\!\left(1 + x^{1/3-1/2} + x^{1/4-1/2}\right).
Agora calcular os expoentes dentro do parêntese:
x^{1/3-1/2}=x^{-1/6},\qquad x^{1/4-1/2}=x^{-1/4}.
Portanto
\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x} = x^{1/2}\!\left(1 + x^{-1/6} + x^{-1/4}\right).

Passo 4

Escrever o denominador fatorado por \sqrt{x}:
\sqrt{2x+1}=\sqrt{x}\,\sqrt{2+\tfrac{1}{x}}.
Agora substituo as duas expressões na fração e simplifico o fator \sqrt{x}:
\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}} = \frac{x^{1/2}\!\left(1 + x^{-1/6} + x^{-1/4}\right)}{x^{1/2}\sqrt{2+\tfrac{1}{x}}} = \frac{1 + x^{-1/6} + x^{-1/4}}{\sqrt{2+\tfrac{1}{x}}}.

Passo 5

Agora vou aplicar regras básicas de limites: se a(x)\to a e b(x)\to b com b\neq 0, então \dfrac{a(x)}{b(x)}\to \dfrac{a}{b}. Avalio os limites das partes:
\lim_{x\to\infty} x^{-1/6}=0,\qquad \lim_{x\to\infty} x^{-1/4}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\tfrac{1}{x}=0.
Logo o numerador da expressão simplificada tende a 1+0+0=1 e o denominador tende a \sqrt{2+0}=\sqrt{2}. Como \sqrt{2}\neq 0, o limite da razão é
\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Complemento didático/intuitivo: entre os termos x^{1/2}, x^{1/3}, x^{1/4} o que cresce mais rápido quando x\to\infty é x^{1/2}. Assim o comportamento assintótico do numerador é dominado por \sqrt{x}. O denominador é proporcional a \sqrt{x} também (pois \sqrt{2x+1}\sim\sqrt{2}\sqrt{x}). Em termos práticos, a expressão se aproxima de \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} quando x é grande, e os termos menores no numerador tornam-se irrelevantes.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{2}}

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