Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
:
Informações fornecidas:
- São duas funções racionais subtraídas:
e . - O ponto de interesse é
.
O que se quer: o valor do limite numérico dessa expressão quandocresce sem limite.
Passo 2
Vamos juntar as duas frações numa única fração com denominador comum para simplificar a expressão. O denominador comum é
. Assim:
Passo 3
Agora expandimos e simplificamos o numerador.
Primeiro expandir:
Primeiro expandir:
Subtraindo:
Logo a expressão fica
Passo 4
Fatorando o numerador e expandindo o denominador:
Portanto a expressão é
Passo 5
Para estudar o comportamento quando
é útil dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador, que é
. Fazendo isso:
Agora usamos o fato básico de limites:
,
,
quando
. Substituindo esses limites na expressão obtém-se o limite da fração como o quociente dos coeficientes líderes das potências de maior grau.
Passo 6
Aplicando o passo anterior, ao fazer
a expressão tende a
Observação didática curtinha: para funções racionais onde numerador e denominador têm o mesmo grau, o limite no infinito é sempre o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
no numerador do grau
e
no denominador do grau
).