Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{3}}{2 x^{2}-1}-\frac{x^{2}}{2 x+1}\right);

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^{3}}{2x^{2}-1}-\frac{x^{2}}{2x+1}\right).
Informações fornecidas:
  • São duas funções racionais subtraídas: \dfrac{x^{3}}{2x^{2}-1} e \dfrac{x^{2}}{2x+1}.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
    O que se quer: o valor do limite numérico dessa expressão quando x cresce sem limite.

Passo 2

Vamos juntar as duas frações numa única fração com denominador comum para simplificar a expressão. O denominador comum é (2x^{2}-1)(2x+1). Assim:
\frac{x^{3}}{2x^{2}-1}-\frac{x^{2}}{2x+1} =\frac{x^{3}(2x+1)-x^{2}(2x^{2}-1)}{(2x^{2}-1)(2x+1)}.

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos o numerador.
Primeiro expandir:
x^{3}(2x+1)=2x^{4}+x^{3}, \qquad x^{2}(2x^{2}-1)=2x^{4}-x^{2}.
Subtraindo:
x^{3}(2x+1)-x^{2}(2x^{2}-1)=(2x^{4}+x^{3})-(2x^{4}-x^{2})=x^{3}+x^{2}.
Logo a expressão fica
\frac{x^{3}+x^{2}}{(2x^{2}-1)(2x+1)}.

Passo 4

Fatorando o numerador e expandindo o denominador:
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1),
(2x^{2}-1)(2x+1)=4x^{3}+2x^{2}-2x-1.
Portanto a expressão é
\frac{x^{2}(x+1)}{4x^{3}+2x^{2}-2x-1}.

Passo 5

Para estudar o comportamento quando x\to\infty é útil dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{3}. Fazendo isso:
\frac{x^{2}(x+1)}{4x^{3}+2x^{2}-2x-1} =\frac{\dfrac{x^{2}(x+1)}{x^{3}}}{\dfrac{4x^{3}+2x^{2}-2x-1}{x^{3}}} =\frac{1+\dfrac{1}{x}}{4+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{3}}}.
Agora usamos o fato básico de limites: \dfrac{1}{x}\to0, \dfrac{1}{x^{2}}\to0, \dfrac{1}{x^{3}}\to0 quando x\to\infty. Substituindo esses limites na expressão obtém-se o limite da fração como o quociente dos coeficientes líderes das potências de maior grau.

Passo 6

Aplicando o passo anterior, ao fazer x\to\infty a expressão tende a
\frac{1+0}{4+0-0-0}=\frac{1}{4}.
Observação didática curtinha: para funções racionais onde numerador e denominador têm o mesmo grau, o limite no infinito é sempre o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 1 no numerador do grau 3 e 4 no denominador do grau 3).

Resposta

\dfrac{1}{4}

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