Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x+\sqrt[3]{1-x^{3}}\right);

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\bigl(x+\sqrt[3]{1-x^{3}}\bigr).
  • Informação importante: x tende para -\infty, então x é grande em módulo e negativo; consequentemente x^{3}\to -\infty e 1-x^{3}\to +\infty.
    Nada mais é dado.

Passo 2

Primeira ideia útil (substituição): para trabalhar com termos do tipo x e \sqrt[3]{1-x^{3}} é conveniente trocar de variável para tornar as potências positivas. Faço a substituição
x = -t,
com t\to +\infty quando x\to -\infty. A expressão original fica, em termos de t,
x+\sqrt[3]{1-x^{3}} = -t + \sqrt[3]{1-(-t)^{3}} = -t + \sqrt[3]{1+t^{3}}.
Defino, para simplificar, a:=\sqrt[3]{1+t^{3}}. Então a expressão fica -t + a = a - t.

Passo 3

Usar a fatoração de diferença de cubos: para quaisquer números reais A e B vale
A^{3}-B^{3}=(A-B)(A^{2}+AB+B^{2}).
Aqui tenho a^{3}-t^{3}= (1+t^{3})-t^{3}=1. Aplicando a identidade com A=a e B=t obtenho uma expressão exata para a-t:
a-t=\frac{a^{3}-t^{3}}{a^{2}+at+t^{2}}=\frac{1}{a^{2}+at+t^{2}}.
Essa é uma forma muito prática: a diferença que queremos é exatamente 1 dividida por a^{2}+at+t^{2}.

Passo 4

Estudo o comportamento do denominador quando t\to+\infty. Primeiro observo que a=\sqrt[3]{1+t^{3}}>0 e, porque 1+t^{3}>t^{3}, tem a>t. Assim
a^{2}+at+t^{2} > t^{2}+t\cdot t+t^{2}=3t^{2}.
Também, usando que a^{3}=t^{3}+1<(t+1)^{3} para t>0, segue a<t+1. Assim
a^{2}+at+t^{2} < (t+1)^{2}+t(t+1)+t^{2}=3t^{2}+3t+1.
Portanto o termo a-t satisfaz a desigualdade (para t>0)
\frac{1}{3t^{2}+3t+1}\le a-t \le \frac{1}{3t^{2}}.

Passo 5

Aplicando o teorema do sanduíche (squeeze theorem): ambas as funções \dfrac{1}{3t^{2}+3t+1} e \dfrac{1}{3t^{2}} tendem a 0 quando t\to+\infty. Como a-t fica preso entre elas, conclui-se que
\lim_{t\to+\infty}(a-t)=0.
Voltando à variável original x=-t, isso significa
\lim_{x\to -\infty}\bigl(x+\sqrt[3]{1-x^{3}}\bigr)=0.

Resposta

0

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