Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - Informação importante:
tende para , então é grande em módulo e negativo; consequentemente e .
Nada mais é dado.
Passo 2
Primeira ideia útil (substituição): para trabalhar com termos do tipo
e
é conveniente trocar de variável para tornar as potências positivas. Faço a substituição
com
quando
. A expressão original fica, em termos de
,
Defino, para simplificar,
. Então a expressão fica
.
Passo 3
Usar a fatoração de diferença de cubos: para quaisquer números reais
e
vale
Aqui tenho
. Aplicando a identidade com
e
obtenho uma expressão exata para
:
Essa é uma forma muito prática: a diferença que queremos é exatamente
dividida por
.
Passo 4
Estudo o comportamento do denominador quando
. Primeiro observo que
e, porque
, tem
. Assim
Também, usando que
para
, segue
. Assim
Portanto o termo
satisfaz a desigualdade (para
)
Passo 5
Aplicando o teorema do sanduíche (squeeze theorem): ambas as funções
e
tendem a
quando
. Como
fica preso entre elas, conclui-se que
Voltando à variável original
, isso significa
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